#LyX 2.3 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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\begin_layout Title
Contribuições aos Fundamentos da Teoria dos Conjuntos Transfinitos (draft)
\end_layout

\begin_layout Author
Georg Cantor
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash

\backslash

\end_layout

\end_inset

Tradução: Alessandro Duarte
\end_layout

\begin_layout Standard
\align block
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
hspace*{2.1cm}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{minipage}{9cm}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

"Hypotheses non fingo".
\backslash

\backslash
[3pt]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

"Neque enim leges intellectui aut rebus damus ad arbitrium nostrum, sed
 tanquam scribae fideles ab ipsius naturae voce latas et prolatas excipimus
 et describimus".
\backslash

\backslash
[3pt]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

"Veniet tempus, quo ista quae nunc latent, in lucem dies extrahat et longioris
 aevi diligentia".
\backslash

\backslash
[3pt]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{minipage}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset CommandInset toc
LatexCommand tableofcontents

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
A concepção de potência ou o número cardinal
\end_layout

\begin_layout Standard
Por 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

conjunto
\begin_inset Quotes erd
\end_inset

, entendemos qualquer coleção 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, considerada como uma totalidade, de objetos determinados e distintos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 da nossa intuição ou do nosso pensamento.
 Estes objetos são chamados de “elementos” de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Expressamos isto, em símbolos, da seguinte forma:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

M=
\backslash
{m
\backslash
}.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A união de vários conjuntos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$P$
\end_layout

\end_inset

,..., os quais não possuem elementos em comum, em um único conjunto, será designada
 por
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

(M, N, P, ...).
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Portanto, os elementos deste conjunto são os elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$P$
\end_layout

\end_inset

, etc., considerados como uma totalidade.
\end_layout

\begin_layout Standard
Chamamos de “parte” ou “conjunto parcial” de um conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 qualquer outro conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

, cujos elementos são também elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_2$
\end_layout

\end_inset

 for uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

, uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_2$
\end_layout

\end_inset

 será uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
A todo conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 pertence uma determinada “potência” [
\emph on
Mächtigkeit
\emph default
], a qual também chamamos de “número cardinal”.
\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Chamamos “potência” 
\shape default
[
\emph on
Mächtigkeit
\emph default
]
\shape italic
 ou “número cardinal” de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 o conceito geral que, por meio de nossa faculdade ativa do pensamento,
 origina-se do conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, quando abstraímos da natureza de seus diferentes elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 e da ordem na qual eles são apresentados.
\end_layout

\begin_layout Standard
O resultado deste duplo ato de abstração, o número cardinal ou a potência
 [
\emph on
Mächtigkeit
\emph default
] de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, será designado por
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Uma vez que todo elemento particular 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

, quando abstraímos de sua natureza, torna-se uma “unidade”, então o próprio
 número cardinal 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}$
\end_layout

\end_inset

 é um conjunto determinado e composto de unidades puras e este número tem
 existência em nossa mente como uma imagem ou projeção intelectual do conjunto
 dado 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Chamamos dois conjuntos M e N de “equivalentes” e designamos isto por
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

M 
\backslash
sim N 
\backslash
quad 
\backslash
mbox{ou} 
\backslash
quad N
\backslash
sim M,
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent

\shape italic
se for possível colocá-los, de acordo com alguma lei, em uma relação de
 tal forma que a todo elemento de um deles corresponda um e somente um elemento
 do outro
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Assim, a toda parte 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 corresponde uma parte equivalente e determinada 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N_1$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 e vice-versa.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se tivermos uma tal lei de correspondência entre dois conjuntos equivalentes,
 então poderemos modificá-la de várias maneiras, exceto no caso em que cada
 um deles consista apenas em um elemento.
 Em especial, sempre será possível fazer com que a um elemento particular
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_0$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 corresponda um elemento particular 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n_0$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

.
 Pois se, de acordo com lei original, os elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_0$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n_0$
\end_layout

\end_inset

 não se correspondem, mas ao elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_0$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 corresponde o elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n_1$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 e ao elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n_0$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 corresponde o elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, podemos adotar a lei modificada segundo a qual 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_0$
\end_layout

\end_inset

 corresponda a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n_0$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

 a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n_1$
\end_layout

\end_inset

, sendo que, para todos os demais elementos, a lei original permanece inalterada.
 Desta maneira, nosso objetivo é alcançado.
\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Todo conjunto é equivalente a si mesmo
\shape default
:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

M
\backslash
sim M.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Se dois conjuntos forem equivalentes a um terceiro, então eles serão equivalente
s entre si
\shape default
:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mbox{de}
\backslash
 M
\backslash
sim P
\backslash
 
\backslash
mbox{e}
\backslash
 N
\backslash
sim P,
\backslash
 
\backslash
mbox{segue-se}
\backslash
 M
\backslash
sim N
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
É de importância fundamental 
\shape italic
o teorema segundo o qual dois conjuntos M e N terão o mesmo número cardinal
 se e somente se eles forem equivalentes
\shape default
:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mbox{de}
\backslash
 M
\backslash
sim N,
\backslash
 resulta
\backslash
 
\backslash
 
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}=
\backslash
overline{
\backslash
overline{N}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mbox{de}
\backslash
 
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}=
\backslash
overline{
\backslash
overline{N}},
\backslash
 
\backslash
mbox{resulta}
\backslash
 M
\backslash
sim N
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Portanto, a equivalência de conjuntos constitui a condição necessária e
 suficiente para a identidade de seus números cardinais
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
De fato, segundo a definição de potência apresentada, o número cardinal
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}$
\end_layout

\end_inset

 permanecerá inalterado, se no lugar de um ou de muitos ou, até mesmo, de
 todos elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, forem postos elementos diferentes.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ora, se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M
\backslash
sim N$
\end_layout

\end_inset

, então haverá uma lei de correspondência, por meio da qual 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 estão relacionados recíproca e univocamente um ao outro e, de acordo com
 ela, a cada elemento m de M corresponde um único elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

.
 Desta forma, poderíamos pensar que, no lugar de todo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, o elemento correspondente 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 seria posto e, assim, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 se transformaria em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, sem alterar o seu número cardinal.
 Consequentemente
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{equation}{7}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}=
\backslash
overline{
\backslash
overline{N}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A inversa do teorema resulta da observação de que os elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e as diferentes unidades de seu número cardinal 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}$
\end_layout

\end_inset

 estão relacionados recíproca e univocamente.
 Pois, de certo modo, como foi visto, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}$
\end_layout

\end_inset

 origina-se de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, de maneira que todo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 torna-se uma unidade particular de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}$
\end_layout

\end_inset

.
 Portanto, podemos afirmar que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

M
\backslash
sim 
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Da mesma forma, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N
\backslash
sim 
\backslash
overline{
\backslash
overline{N}}$
\end_layout

\end_inset

.
 Então, se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}=
\backslash
overline{
\backslash
overline{N}}$
\end_layout

\end_inset

, de acordo com (6), temos que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M
\backslash
sim N$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Mencionaremos ainda o seguinte teorema que resulta imediatamente do conceito
 de equivalência.
\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Se
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$P$
\end_layout

\end_inset

,...
 
\shape italic
forem conjuntos que não possuem elementos em comum, e se
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M'$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N'$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$P'$
\end_layout

\end_inset

,...
 
\shape italic
forem também conjuntos com esta propriedade e se
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$M
\backslash
sim M',
\backslash
 N
\backslash
sim N,
\backslash
 P
\backslash
sim P',
\backslash
ldots$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent

\shape italic
então sempre teremos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$(M, N, P, 
\backslash
ldots)
\backslash
sim (M', N', P',
\backslash
ldots)$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
“Maior” e “menor” com potências
\end_layout

\begin_layout Standard
Se, para dois conjuntos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 que têm números cardinais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}=
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}=
\backslash
overline{
\backslash
overline{N}}$
\end_layout

\end_inset

, as 
\shape italic
duas
\shape default
 condições forem satisfeitas:
\end_layout

\begin_layout Enumerate

\shape italic
Não há uma parte de
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
que seja equivalente a
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Enumerate
Há uma parte 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N_1$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, tal que , 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N_1
\backslash
sim M$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
então, obviamente, em primeiro lugar, estas condições ainda serão satisfeitas,
 se nelas 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 forem substituídos por dois conjuntos equivalentes 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M'$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N'$
\end_layout

\end_inset

; 
\shape italic
Portanto, elas expressam uma determinada relação entre os números cardinais
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Em segundo lugar, a equivalência de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 e, portanto, a identidade de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

, é excluída; pois, se tivéssemos que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M
\backslash
sim N$
\end_layout

\end_inset

, então teríamos também a equivalência 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N_1
\backslash
sim N$
\end_layout

\end_inset

, porque 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N_1
\backslash
sim M$
\end_layout

\end_inset

; e, uma vez que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M
\backslash
sim N$
\end_layout

\end_inset

, teria de existir também uma parte 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 tal que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1
\backslash
sim M$
\end_layout

\end_inset

 e disto resultaria que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1
\backslash
sim N$
\end_layout

\end_inset

; o que contradiz a condição 1).
\end_layout

\begin_layout Standard
Em terceiro lugar, 
\shape italic
a relação de
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

 com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
é tal que se torna impossível a mesma relação de
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
com
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

; porque se em 1) e 2) os papéis desempenhados por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 forem trocados, então surgirão disto duas condições as quais são contraditórias
 àquelas apresentadas anteriormente.
\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Expressamos a relação de
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
com
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
caracterizada por 
\shape default
1)
\shape italic
 e 
\shape default
2)
\shape italic
, dizendo que 
\shape default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset


\shape italic
 é menor que 
\shape default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset


\shape italic
 ou que 
\shape default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset


\shape italic
 é maior que 
\shape default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset


\shape italic
; em símbolos
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{equation}{0}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mathfrak{a}<
\backslash
mathfrak{b}
\backslash
 
\backslash
mbox{ou}
\backslash
 
\backslash
mathfrak{b}>
\backslash
mathfrak{a}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Podemos facilmente provar que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mbox{se}
\backslash
 
\backslash
mathfrak{a}<
\backslash
mathfrak{b}
\backslash
 
\backslash
mbox{e}
\backslash
 
\backslash
mathfrak{b}<
\backslash
mathfrak{c},
\backslash
 
\backslash
mbox{então}
\backslash
 
\backslash
mathfrak{a}<
\backslash
mathfrak{c}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Da mesma maneira, é uma consequência imediatamente desta definição que
\shape italic
 se
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$P_1$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
for parte de um conjunto 
\shape default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$P$
\end_layout

\end_inset

, 
\shape italic
teremos que a partir de
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}<
\backslash
overline{
\backslash
overline{P_1}}$
\end_layout

\end_inset

 é possível estabelecer que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}<
\backslash
overline{
\backslash
overline{P}}$
\end_layout

\end_inset

, 
\shape italic
e a partir de
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{P}}<
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

 estabelecer que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{P_1}}<
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vimos que, das três relações
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}=
\backslash
mathfrak{b},
\backslash
 
\backslash
mathfrak{a}<
\backslash
mathfrak{b},
\backslash
 
\backslash
mathfrak{b}<
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
cada uma exclui as outras duas.
\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Por outro lado, não é, de modo algum, auto-evidente e nem poderia ser provado
 neste estágio da nossa investigação que, para quaisquer dois números cardinais
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

, uma destas três relações deva necessariamente ocorrer
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Posteriormente, quando tivermos uma perspectiva geral da série ascendente
 dos números cardinais transfinitos e uma compreensão nítida de suas relações,
 a verdade do seguinte teorema poderá ser estabelecida.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[A.] ``
\backslash
textit{Se $
\backslash
mathfrak{a}$ e $
\backslash
mathfrak{b}$ forem quaisquer dois números cardinais, então ou $
\backslash
mathfrak{a}=
\backslash
mathfrak{b}$ ou $
\backslash
mathfrak{a}<
\backslash
mathfrak{b}$ ou $
\backslash
mathfrak{a}>
\backslash
mathfrak{b}$}''.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Deste teorema será possível deduzir, de uma forma bastante simples, os seguintes
 teoremas os quais, entretanto, não serão utilizados neste estágio da nossa
 investigação:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[B.]  ``
\backslash
textit{Se dois conjuntos $M$ e $N$ forem tais que $M$ é equivalente a uma
 parte $N_1$ de $N$ e $N$, a uma parte $M_1$ de $M$, então $M$ e $N$ serão
 equivalentes}'';
\backslash

\backslash
[3pt]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[C.] ``Se $M_1$ for uma parte de um conjunto $M$ e $M_2$, uma parte do
 conjunto $M_1$, e se os conjuntos $M$ e $M_2$ forem equivalentes, então
 $M_1$ será também equivalente a $M$ e a $M_2$'';
\backslash

\backslash
[3pt]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[D.]  ``
\backslash
textit{Se, para dois conjuntos $M$ e $N$, for satisfeita a condição segundo
 a qual $N$ não é equivalente nem ao próprio $M$, nem a uma parte de $M$,
 então haverá uma parte $N_1$ de $N$ que é equivalente a $M$}'';
\backslash

\backslash
[3pt]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[E.] ``
\backslash
textit{Se dois conjuntos $M$ e $N$ não forem equivalentes, e se houver uma
 parte $N_1$ de $N$ que é equivalente a $M$, então nenhuma parte de $M$
 será equivalente a $N$}''.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
A adição e multiplicação de potências
\end_layout

\begin_layout Standard
A união de dois conjuntos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, os quais não possuem elementos em comum, foi designada em §1, (2) por
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M, N)$
\end_layout

\end_inset

.
 Chamá-la-emos 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

conjunto união de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M'$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N'$
\end_layout

\end_inset

 forem dois outros conjuntos, que não possuem elementos comuns, e se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M
\backslash
sim M'$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N
\backslash
sim N'$
\end_layout

\end_inset

 , então também teremos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$(M,N)
\backslash
sim (M',N')$.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Portanto, o número cardinal de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M, N)$
\end_layout

\end_inset

 depende somente dos números cardinais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}=
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{N}}=
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Isto nos leva à definição da soma de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

, quando estabelecemos
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{equation}{0}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mathfrak{a}+
\backslash
mathfrak{b}=
\backslash
overline{
\backslash
overline{(M,N)}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Uma vez que, no conceito de potência, abstraímos da ordem dos elementos,
 resulta imediatamente que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mathfrak{a}+
\backslash
mathfrak{b}=
\backslash
mathfrak{b}+
\backslash
mathfrak{a}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e, para quaisquer três números cardinais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{c}$
\end_layout

\end_inset

, resulta que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mathfrak{a}+(
\backslash
mathfrak{b}+
\backslash
mathfrak{c})=(
\backslash
mathfrak{a}+
\backslash
mathfrak{b})+
\backslash
mathfrak{c}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Agora, chegamos à multiplicação.
\end_layout

\begin_layout Standard
Todo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 de um conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 pode ligar-se a todo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 de um outro conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, formando um novo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(m, n)$
\end_layout

\end_inset

; estipularemos o símbolo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M.N)$
\end_layout

\end_inset

 para o conjunto de todas estas ligações 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(m, n)$
\end_layout

\end_inset

, e chamá-lo-emos “conjunto de ligações de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

”.
 Portanto,
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

(M.N)=
\backslash
{(m,n)
\backslash
}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Vemos que a potência de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M.N)$
\end_layout

\end_inset

 também depende somente das potências 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}=
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{N}}=
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

; pois, se substituirmos os conjuntos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 pelos seus conjuntos equivalentes
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$M'=
\backslash
{m'
\backslash
}$ e $N'=
\backslash
{n'
\backslash
}$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e concebermos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m'$
\end_layout

\end_inset

, assim como 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n'$
\end_layout

\end_inset

, como elementos correspondentes, então o conjunto
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$(M'.N')=
\backslash
{(m',n')
\backslash
}$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
estará relacionado recíproca e univocamente com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M.N)$
\end_layout

\end_inset

, considerando-se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(m,n)$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(m',n')$
\end_layout

\end_inset

 como elementos correspondentes.
 Portanto,
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

(M'.
 N')
\backslash
sim(M.
 N)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Agora, definiremos o produto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}.
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

 pela equação
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mathfrak{a}.
\backslash
mathfrak{b}=
\backslash
overline{
\backslash
overline{(M.N)}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Um conjunto que tem o número cardinal 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}.
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

 pode ser formado de dois conjuntos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 que têm os números cardinais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

, de acordo com a seguinte regra: Partimos do conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 e substituímos nele todo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 por um conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_n
\backslash
sim M$
\end_layout

\end_inset

; se colecionarmos [zusammenfassen] os elementos de todos estes conjuntos
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_n$
\end_layout

\end_inset

 em uma totalidade 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

, então veremos facilmente que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

S
\backslash
sim(M.N)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e, consequentemente,
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{S}}= 
\backslash
mathfrak{a}.
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Pois, se, de acordo com qualquer dada lei de correspondência entre os dois
 conjuntos equivalentes 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_n$
\end_layout

\end_inset

, designarmos o elemento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_n$
\end_layout

\end_inset

 que corresponde ao elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_n$
\end_layout

\end_inset

, então teremos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

S=
\backslash
{m_n
\backslash
}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e, assim, os conjuntos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M.N)$
\end_layout

\end_inset

 podem ser relacionados recíproca e univocamente um ao outro, considerando-se
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_n$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(m, n)$
\end_layout

\end_inset

 como elementos correspondentes.
\end_layout

\begin_layout Standard
A partir de nossas definições, obtemos facilmente os teoremas:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mathfrak{a}.
\backslash
mathfrak{b}=
\backslash
mathfrak{b}.
\backslash
mathfrak{a}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mathfrak{a}.(
\backslash
mathfrak{b}.
\backslash
mathfrak{c})=(
\backslash
mathfrak{a}.
\backslash
mathfrak{b}).
\backslash
mathfrak{c}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mathfrak{a}.(
\backslash
mathfrak{b}+
\backslash
mathfrak{c})=
\backslash
mathfrak{a}.
\backslash
mathfrak{b}+
\backslash
mathfrak{a}.
\backslash
mathfrak{c}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
porque
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$(M.N)
\backslash
sim(N.M)$,
\backslash

\backslash
[3pt]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$(M.(N.P))
\backslash
sim((M.N).P)$,
\backslash

\backslash
[3pt]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$(M.(N,P))
\backslash
sim((M.N),(M.P))$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Adição e multiplicação de potências estão sujeitas, portanto, às leis comutativa
, associativa e distributiva.
\end_layout

\begin_layout Section
A exponenciação de potências
\end_layout

\begin_layout Standard
Por “cobertura do conjunto
\begin_inset Marginal
status open

\begin_layout Plain Layout
Cantor usa a palavra “Belegung der Menge N...” “belengen” significa cobrir.
 Na tradução inglesa, temos a palavra “covering” que significa também, parece,
 “cobertura”.
 
\end_layout

\end_inset

 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 nos elementos do conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

”, ou de uma maneira mais simples, por “cobertura de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

”, entendemos uma lei segundo a qual a todo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 está ligado um elemento determinado de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, onde um e o mesmo elemento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 pode reiteradamente participar da aplicação.
 O elemento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 que está ligado a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 é, de certa forma, uma função unívoca [eindeutig] de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 e ele pode ser designado por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f(n)$
\end_layout

\end_inset

; esta função será chamada “
\shape italic
função cobertura de
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

”.
 Chamaremos a cobertura correspondente de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f(N)$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Duas coberturas 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f_1(N)$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f_2(N)$
\end_layout

\end_inset

 serão consideradas iguais se e somente se, para todo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, a equação
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{equation}{0}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

f_1(n)=f_2(n)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
for satisfeita, de maneira que, se esta equação não subsistir nem mesmo
 para um único elemento particular 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n=n_0$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f_1(N)$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f_2(N)$
\end_layout

\end_inset

 serão caracterizadas como coberturas 
\shape italic
diferentes
\shape default
 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por exemplo, se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_0$
\end_layout

\end_inset

 for um elemento particular de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, poderemos estipular que, para todo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$f(n)=m_0$;
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
esta lei constitui uma cobertura particular de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Outro tipo de cobertura será obtido, se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_0$
\end_layout

\end_inset

 e
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

 $m_1$
\end_layout

\end_inset

 forem dois elementos particulares e diferentes de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n_0$
\end_layout

\end_inset

 for um elemento particular de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, estipulando-se que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$f(n_0)=m_0$,
\backslash

\backslash
[3pt]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$f(n)=m_1$,
\backslash

\backslash
[3pt]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
para todo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 que é diferente de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n_0$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
A totalidade das diferentes coberturas de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 forma um conjunto determinado que possui os elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f(N)$
\end_layout

\end_inset

; chamá-lo-emos 
\begin_inset Quotes eld
\end_inset

conjunto-cobertura de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

 e designá-lo-emos por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(N|M)$
\end_layout

\end_inset

.
 Portanto:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

(N|M)=
\backslash
{f(N)
\backslash
}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M
\backslash
sim M'$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N
\backslash
sim N'$
\end_layout

\end_inset

 , então poderemos facilmente ver que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

(N|M)
\backslash
sim (N'|M')
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Destarte, o número cardinal de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(N|M)$
\end_layout

\end_inset

 depende somente dos números cardinais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{M}}=
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{N}}=
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

; isto servirá para definirmos a 
\series bold
potênciação
\series default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}^{
\backslash
mathfrak{b}}$
\end_layout

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mathfrak{a}^{
\backslash
mathfrak{b}}=
\backslash
overline{
\backslash
overline{(N|M)}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Para quaisquer três conjuntos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$P$
\end_layout

\end_inset

, podemos facilmente provar os teoremas:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

((N|M).(P|M))
\backslash
sim ((N,P)|M),
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

((P|M).(P|N))
\backslash
sim (P|(M,N)),
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

((P|(N|M))
\backslash
sim ((P.N)|M),
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
a partir dos quais, se admitirmos que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{P}}=
\backslash
mathfrak{c}$
\end_layout

\end_inset

, obtemos, de acordo com 4 e levando-se em conta §3, os teoremas que são
 válidos para quaisquer três números cardinais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{b}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{c}$
\end_layout

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mathfrak{a}^{
\backslash
mathfrak{b}}.
\backslash
mathfrak{a}^{
\backslash
mathfrak{c}}=
\backslash
mathfrak{a}^{
\backslash
mathfrak{b}+
\backslash
mathfrak{c}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mathfrak{a}^{
\backslash
mathfrak{c}}.
\backslash
mathfrak{b}^{
\backslash
mathfrak{c}}=(
\backslash
mathfrak{a}.
\backslash
mathfrak{b})^{
\backslash
mathfrak{c}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

(
\backslash
mathfrak{a}^{
\backslash
mathfrak{b}})^{
\backslash
mathfrak{c}}=
\backslash
mathfrak{a}^{
\backslash
mathfrak{b}.
\backslash
mathfrak{c}}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Reconhecemos o quão férteis e influentes são estas simples fórmulas estendidas
 às potências pelo seguinte exemplo:
\end_layout

\begin_layout Standard
Se designarmos a potência do 
\shape italic
continuum
\shape default
 linear 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 (ou seja, a totalidade [Inbegriffs] 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 de [todos] os números reais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 tais que  
\begin_inset Formula $x\geqq0$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $x\leqq1$
\end_inset

 ) por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{d}$
\end_layout

\end_inset

, poderemos facilmente nos convencer que ela pode ser representada, entre
 outras, pela fórmula
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
mathfrak{o}=2^{
\backslash
aleph_0}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Em §6 apresentaremos a explicação do significado de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
aleph_0$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
De fato, de acordo com (4), 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2^{
\backslash
aleph_0}$
\end_layout

\end_inset

 é a potência de todas as representações 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

x=
\backslash
frac{f(1)}{2}+
\backslash
frac{f(2)}{2^2}+
\backslash
ldots+
\backslash
frac{f(v)}{2^v}+
\backslash
ldots
\backslash
 (
\backslash
mbox{onde}
\backslash
 f(v)=0
\backslash
 
\backslash
mbox{ou}
\backslash
 1) 
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
dos números 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 no sistema binário.
 Se prestarmos atenção ao fato de que todo número 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 é somente representado uma vez, com a exceção dos números 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x=
\backslash
frac{2v+1}{2^{
\backslash
mu}}<1$
\end_layout

\end_inset

, que são representados duas vezes, então, em primeiro lugar, se designarmos
 a totalidade “enumerável” [abzählbare] deste último por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{s_v
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

, teremos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$2^{
\backslash
aleph_0}=
\backslash
overline{
\backslash
overline{(
\backslash
{s_v
\backslash
},X)}}$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Se tirarmos de X qualquer conjunto “enumerável” {
\begin_inset Formula $t_{v}$
\end_inset

} e designarmos o restante por 
\begin_inset Formula $X_{1}$
\end_inset

, então
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$X=(
\backslash
{t_v
\backslash
},X_1)=(
\backslash
{t_{2v-1}
\backslash
},
\backslash
{t_{2v}
\backslash
}, X_1)$,
\backslash

\backslash
[3pt]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
  (
\backslash
{s_v
\backslash
},X)=(
\backslash
{s_v
\backslash
},
\backslash
{t_{v}
\backslash
}, X_1)$,
\backslash

\backslash
[3pt]
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{t_{2v-1}
\backslash
}
\backslash
sim 
\backslash
{s_v
\backslash
}$, $
\backslash
{t_{2v}
\backslash
}
\backslash
sim
\backslash
{t_v
\backslash
}$, $X_1
\backslash
sim X_1$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Portanto,
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$X
\backslash
sim (
\backslash
{s_v
\backslash
},X)$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
E assim (§1)
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$2^{
\backslash
aleph_0}=
\backslash
overline{
\backslash
overline{X}}=
\backslash
mathfrak{o}$.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
De acordo com §6, (6) resulta de (11), multiplicando-se um número por ele
 próprio [
\shape italic
Quadrieren
\shape default
],
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\mathfrak{o.o}=2^{\aleph_{0}}.2^{\aleph_{0}}=2^{\aleph_{0}+\aleph_{0}}=2^{\aleph_{0}}=\mathfrak{o}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e, assim, pela multiplicação contínua de 
\begin_inset Formula $\mathfrak{o}$
\end_inset

, obtemos
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mathfrak{0}^{v}=\mathfrak{o},
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
onde 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 é qualquer número cardinal finito.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se elevarmos ambos os lados de (11) à 
\series bold
potência
\series default
 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

, obteremos 
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\mathfrak{o}^{\aleph_{0}}=(2^{\aleph_{0}})^{\aleph_{0}}=2^{\aleph_{0}.\aleph_{0}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Mas, uma vez que, de acordo com §6, (8), 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}.\aleph_{0}=\aleph_{0}$
\end_inset

, então
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\mathfrak{o}^{\aleph_{0}}=\mathfrak{o}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
As fórmulas (13) e (14) não tem outro significado, exceto este: “tanto o
 
\shape italic
continuum
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

-dimensional como o 
\shape italic
continuum
\shape default
 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

-dimensional têm a potência do 
\shape italic
continuum
\shape default
 unidimensional.
 Portanto, 
\shape italic
o conteúdo inteiro
\shape default
 do artigo apresentado no Crelle's Journal, volume 84, pág.
 242 é derivado, de uma maneira puramente algébrica, 
\shape italic
com estes poucos traços de caneta
\shape default
, a partir das 
\shape italic
fórmulas fundamentais do cálculo com potências
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Section
Os números cardinais finitos
\end_layout

\begin_layout Standard
Em primeiro lugar, mostramos como os princípios estabelecidos, e a partir
 dos quais, mais tarde, a teoria dos números cardinais atualmente infinitos
 ou transfinitos deverá ser construída, proporcionam também o fundamento
 mais natural, conciso e rigoroso para a teoria dos números finitos.
\end_layout

\begin_layout Standard
A uma única coisa 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e_0$
\end_layout

\end_inset

, se a subsumirmos sob o conceito de um conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_0=(e_0)$
\end_layout

\end_inset

, corresponde, como número cardinal, o que chamaremos “um” e designamos
 por 1; temos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{equation}{0}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

1=
\backslash
overline{
\backslash
overline{E}}_0
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Agora, unamos a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_0$
\end_layout

\end_inset

 uma outra coisa 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e_1$
\end_layout

\end_inset

 e chamemos o conjunto união de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_1$
\end_layout

\end_inset

, tal que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

E_1=(E_0,e_1)=(e_0,e_1)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Chamamos o número cardinal de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_1$
\end_layout

\end_inset

 “dois” e designamo-lo por 2:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

2=
\backslash
overline{
\backslash
overline{E}}_1
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Por meio da adição de novos elementos, obtemos a série de conjuntos
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_2=(E_1,e_2)$, $E_3=(E_2,e_3),
\backslash
dots$
\end_layout

\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
os quais nos dão sucessivamente, em uma sequência ilimitada, os outros então
 chamados “números cardinais finitos”.
 Eles serão designados por 3, 4, 5,....
 O uso que fazemos aqui destes números como subscritos é justificado pelo
 fato de que um número é somente empregado, com esse significado, depois
 que ele foi definido como um número cardinal.
 Se, por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v-1$
\end_layout

\end_inset

, entendermos o número que precede imediatamente a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 na série acima, então teremos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

v=
\backslash
overline{
\backslash
overline{E}}_{v-1}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

E_v=(E_{v-1},e_v)=(e_0,e_1,
\backslash
ldots,e_v)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
A partir da definição de soma em §3, obtemos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{equation}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
overline{
\backslash
overline{E}}_v=
\backslash
overline{
\backslash
overline{E}}_{v-1}+1.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{equation}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Ou seja, todo número cardinal finito (exceto 1) é a soma do número imediatamente
 precedente e 1.
\end_layout

\begin_layout Standard
Neste estágio da nossa investigação, os seguintes três teoremas entram em
 primeiro plano:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[A.]  ``
\backslash
textit{Os membros da série ilimitada de números cardinais finitos}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$1,2,3,
\backslash
ldots$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
textit{são todos diferentes uns dos outros} (isto é, a condição de equivalência
 estabelecida em 
\backslash
S 1 não é satisfeita pelos respectivos conjuntos)''.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[B.] ``
\backslash
textit{Qualquer um destes números $v$ é maior que seus predecessores e menor
 que seus sucessores} (
\backslash
S 2)''
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[C.] ``
\backslash
textit{Não há nenhum número cardinal que se encontra, de acordo com a sua
 grandeza, entre dois números consecutivos $v$ e $v+1$}'' (
\backslash
S 2)
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Apoiamo-nos, para darmos as provas dos teoremas acima, nos seguintes dois
 teoremas, D e E, os quais, consequentemente, serão justificados em primeiro
 lugar.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[D.] ``
\backslash
textit{Se $M$ for um conjunto, tal que ele não tem a potência igual à de
 nenhum de seus conjuntos parciais, então o conjunto $(M, e)$, que surge
 de $M$ por meio da adição de um único novo elemento, também terá a mesma
 propriedade de não ter a potência igual à de nenhum de seus conjuntos parciais}
''
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[E.] ``
\backslash
textit{Se $N$ for um conjunto que tem número cardinal finito $v$ e se $N_1$
 for qualquer conjunto parcial de $N$, então o número cardinal de $N_1$
 será igual a um dos números precedentes $1, 2, 3,
\backslash
ldots, v-1$}''
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Prova de D
\series default
.
 Suponhamos que o conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M, e)$
\end_layout

\end_inset

 tenha a mesma potência que à de um de seus conjuntos parciais, o qual chamaremo
s de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

.
 Então dois casos, ambos levando a uma contradição, terão de ser distinguidos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
O conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 contém 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e$
\end_layout

\end_inset

 como elemento; seja 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N=(M_1, e)$
\end_layout

\end_inset

; então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

 é uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, porque 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 é uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M, e)$
\end_layout

\end_inset

.
 Como vimos em §1, a lei da correspondência entre dois conjuntos equivalentes
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M, e)$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M_1, e)$
\end_layout

\end_inset

 pode ser modificada, de tal forma que o elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e$
\end_layout

\end_inset

 do primeiro conjunto corresponda ao mesmo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e$
\end_layout

\end_inset

 do segundo; assim, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

 também estão relacionados recíproca e univocamente.
 Mas, isto contradiz a suposição de que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 não tem a mesma potência que a de sua parte 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
O conjunto parcial 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M, e)$
\end_layout

\end_inset

 não contém 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e$
\end_layout

\end_inset

 como elemento.
 Então ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 é 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 é uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

.
 De acordo com a lei de correspondência entre 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M, e)$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, que está na base de nossa suposição, o elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e$
\end_layout

\end_inset

 do primeiro conjunto poderia corresponder ao elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 do segundo.
 Seja 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N=(M_1, f)$
\end_layout

\end_inset

; então, o conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 também tem de estar relacionado recíproca e univocamente com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

.
 Mas, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

 é uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 e, assim, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

 é também uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

.
 Logo, neste caso, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 também seria equivalente a uma de suas partes, contradizendo a suposição.
\end_layout

\begin_layout Standard

\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Prova de E
\series default
.
 Suponhamos que o teorema é válido até um certo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 e, então, concluiremos que ele é válido para o número 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v+1$
\end_layout

\end_inset

 que sucede imediatamente a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Partiremos do conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_v=(e_0, e_1,
\backslash
ldots, e_v)$
\end_layout

\end_inset

 que tem o número cardinal 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v+1$
\end_layout

\end_inset

.
 Se o teorema for válido para este conjunto, então, resultará imediatamente
 (§1) que ele também será válido para qualquer outro conjunto com o mesmo
 número cardinal 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v+1$
\end_layout

\end_inset

.
 Seja 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E'$
\end_layout

\end_inset

 qualquer parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_v$
\end_layout

\end_inset

; distinguiremos os seguintes casos:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E'$
\end_layout

\end_inset

 não contém 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e_v$
\end_layout

\end_inset

 como elemento, então ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E'$
\end_layout

\end_inset

 é 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_{v-1}$
\end_layout

\end_inset

 ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E'$
\end_layout

\end_inset

 é uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_{v-1}$
\end_layout

\end_inset

.
 Portanto, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E'$
\end_layout

\end_inset

 tem, como número cardinal, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 ou um dos números 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1, 2, 3,
\backslash
ldots, v-1$
\end_layout

\end_inset

, porque foi pressuposto que o nosso teorema é válido para o conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_{v-1}$
\end_layout

\end_inset

 que tem número cardinal 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E'$
\end_layout

\end_inset

 consiste em único elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e_v$
\end_layout

\end_inset

, então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{E'}}=1$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E'$
\end_layout

\end_inset

 consiste em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e_v$
\end_layout

\end_inset

 e em um conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E''$
\end_layout

\end_inset

, de maneira que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E'=(E'',e_v)$
\end_layout

\end_inset

.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E''$
\end_layout

\end_inset

 é uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_{v-1}$
\end_layout

\end_inset

 e tem, portanto, como número cardinal, de acordo com a nossa suposição,
 um dos números 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1, 2, 3,
\backslash
ldots, v-1$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Mas, agora, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
overline{
\backslash
overline{E'}}=
\backslash
overline{
\backslash
overline{E''}}+1$
\end_layout

\end_inset

 e, assim, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E'$
\end_layout

\end_inset

 tem, como número cardinal, um dos números 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2, 3,
\backslash
ldots, v$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Prova de A
\series default
.
 Qualquer um dos conjuntos que designamos por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_v$
\end_layout

\end_inset

 tem a propriedade de não ser equivalente a qualquer um dos seus conjuntos
 parciais.
 Pois, se supusermos que isto é válido até um certo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

, então resultará do teorema D que isto é válido para o sucessor imediato
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v+1$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v=1$
\end_layout

\end_inset

, reconhecemos imediatamente que o conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_1=(e_0,e_1)$
\end_layout

\end_inset

 não é equivalente a quaisquer de seus conjuntos parciais, que são, neste
 caso, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(e_0)$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(e_1)$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Agora, se considerarmos quaisquer dois números 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 da série 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1, 2, 3,
\backslash
ldots$
\end_layout

\end_inset

 e se 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 vier primeiro na série e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 vier depois de 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 na série, então 
\begin_inset Formula $E_{\mu-1}$
\end_inset

 será um conjunto parcial de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_{v-1}$
\end_layout

\end_inset

.
 Consequentemente, 
\begin_inset Formula $E_{\mu-1}$
\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_{v-1}$
\end_layout

\end_inset

 não são equivalentes; de acordo com isso, seus números cardinais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mu=
\backslash
overline{
\backslash
overline{E}}_{
\backslash
mu-1}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v=
\backslash
overline{
\backslash
overline{E}}_{v-1}$
\end_layout

\end_inset

 não são iguais.
 
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Prova de B
\series default
.
 Se, de dois números cardinais finitos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mu$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

, aquele vier primeiro na série e este vier depois daquele na série, então
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mu<v$
\end_layout

\end_inset

.
 Pois, se considerarmos os dois conjuntos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M=E_{
\backslash
mu-1}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N=E_{v-1}$
\end_layout

\end_inset

, então as duas condições para 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$<$
\end_layout

\end_inset

 estabelecidas em §2 serão satisfeitas por cada um deles.
 A condição 1) é satisfeita, porque, de acordo com teorema E, um conjunto
 parcial de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M=E_{
\backslash
mu-1}$
\end_layout

\end_inset

 pode ter somente um dos números cardinais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1, 2, 3,
\backslash
ldots,
\backslash
mu-1$
\end_layout

\end_inset

 e, portanto, de acordo com o teorema A, não pode ser equivalente ao conjunto
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N=E_{v-1}$
\end_layout

\end_inset

.
 A condição 2) é satisfeita, porque o próprio 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 é uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Prova de C
\series default
.
 Seja a um número cardinal que é menor que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v+1$
\end_layout

\end_inset

.
 Por causa da condição 2) em §2, há um conjunto parcial de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_v$
\end_layout

\end_inset

 que tem número cardinal 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

.
 Pelo teorema E, a um conjunto parcial de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E_v$
\end_layout

\end_inset

 pertence apenas um dos números cardinais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1, 2, 3,
\backslash
ldots,v$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Portanto, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

 é igual a um dos números cardinais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1, 2, 3,
\backslash
ldots,v$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pelo teorema B, nenhum destes é maior que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Consequentemente, não há nenhum número cardinal 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
mathfrak{a}$
\end_layout

\end_inset

 que seja menor que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v+1$
\end_layout

\end_inset

 e maior que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
O seguinte teorema é importante para o que vem a seguir:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[F.] ``
\backslash
textit{Se $K$ for qualquer conjunto de diferentes números cardinais finitos,
 então haverá, entre eles, um $k_1$, que é menor que todos os outros e,
 portanto, é o menor de todos}''.
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\series bold
Prova
\series default
.
 Ou o conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$K$
\end_layout

\end_inset

 contém o número 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1$
\end_layout

\end_inset

, neste caso, ele é o menor e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$k_1=1$
\end_layout

\end_inset

; ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$K$
\end_layout

\end_inset

 não contém o número 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1$
\end_layout

\end_inset

.
 Neste último caso, seja 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$J$
\end_layout

\end_inset

 a totalidade [
\shape italic
Inbegriff
\shape default
] de todos aqueles números cardinais de nossa série 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1, 2, 3,
\backslash
ldots$
\end_layout

\end_inset

, que são menores que aqueles que ocorrem em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$K$
\end_layout

\end_inset

.
 Se um número 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 pertencer a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$J$
\end_layout

\end_inset

, então todos os números menores que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 também pertencerão a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$J$
\end_layout

\end_inset

.
 Mas, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$J$
\end_layout

\end_inset

 tem de ter um elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v_1$
\end_layout

\end_inset

, tal que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v_1+1$
\end_layout

\end_inset

 e, consequentemente, todos os números maiores que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v_1+1$
\end_layout

\end_inset

 não pertençam a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$J$
\end_layout

\end_inset

, pois, caso contrário, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$J$
\end_layout

\end_inset

 conteria a totalidade de todos os números finitos.
 No entanto, os números que pertencem a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$K$
\end_layout

\end_inset

 não estão contidos em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$J$
\end_layout

\end_inset

.
 Portanto, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$J$
\end_layout

\end_inset

 não é outra coisa, exceto o segmento [Abschnitt] 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(1, 2, 3,
\backslash
ldots,v_1)$
\end_layout

\end_inset

.
 O número 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v_1+1=k_1$
\end_layout

\end_inset

 é necessariamente um elemento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$K$
\end_layout

\end_inset

 e é menor que todos os outros.
\end_layout

\begin_layout Standard
De F, concluímos:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[G.] ``
\backslash
textit{Todo conjunto $K=
\backslash
{
\backslash
kappa
\backslash
}$ de diferentes números cardinais finitos pode ser transformado em uma
 série}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$K=(
\backslash
kappa_1,
\backslash
kappa_2,
\backslash
kappa_3,
\backslash
dots)$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

tal que
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
kappa_1<
\backslash
kappa_2<
\backslash
kappa_3,
\backslash
dots$
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{center}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
O menor número cardinal transfinito, aleph zero
\end_layout

\begin_layout Standard
Os conjuntos que têm um número cardinal finito são chamados “
\shape italic
conjuntos finitos
\shape default
”.
 Chamaremos todos os demais conjuntos “
\shape italic
conjuntos transfinitos
\shape default
” e seus números cardinais “
\shape italic
números cardinais transfinitos
\shape default
”.
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{equation}{0}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A totalidade de 
\shape italic
todos os números cardinais finitos
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 nos oferece o primeiro exemplo de um conjunto transfinito; chamaremos o
 número cardinal (§1) que pertence a este conjunto de “
\shape italic
Aleph Zero
\shape default
”, em símbolos 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

 e, portanto, definiremos
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\aleph_{0}=\overline{{\overline{\{v\}}}}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Que 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

 é um número 
\shape italic
transfinito
\shape default
, ou seja, ele 
\shape italic
não é igual a nenhum
\shape default
 número 
\shape italic
finito
\shape default
 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

, resulta do simples fato de que se ao conjunto 
\begin_inset Formula $\{v\}$
\end_inset

 for acrescentado um novo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e_0$
\end_layout

\end_inset

, o conjunto união 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(
\backslash
{v
\backslash
}, e_0)$
\end_layout

\end_inset

 será equivalente a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{v
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

.
 Pois, podemos pensar em uma relação reciprocamente unívoca entre estes
 dois conjuntos, segundo a qual ao elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e_0$
\end_layout

\end_inset

 do primeiro conjunto corresponde o elemento 1 do segundo, ao elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 do primeiro conjunto corresponde o elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v+1$
\end_layout

\end_inset

 do segundo.
 De acordo com §3, consequentemente, temos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\aleph_{0}+1=\aleph_{0}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Mas, em §5, mostramos que (para todo número finito 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

) 
\begin_inset Formula $\mu+1$
\end_inset

 é sempre diferente de 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

, portanto 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

 não é igual a nenhum número finito 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
O número 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

 é maior que todo número finito
\shape default
 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\aleph_{0}>\mu
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Tendo em vista §3, isto resulta de: 
\begin_inset Formula $\mu=\overline{\overline{(1,2,3,\ldots,\mu)}}$
\end_inset

; nenhuma parte do conjunto 
\begin_inset Formula $(1,2,3,\ldots,\mu)$
\end_inset

 é equivalente ao conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{v
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

; e o próprio 
\begin_inset Formula $(1,2,3,\ldots,\mu)$
\end_inset

 é uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{v
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por outro lado, 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

 é 
\shape italic
o menor número cardinal transfinito
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

 for algum número cardinal transfinito diferente de 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

, então sempre teremos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\aleph_{0}<\mathfrak{a}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[A.]``
\backslash
textit{Todo conjunto transfinito $T$ tem um conjunto parcial que tem número
 cardinal} $
\backslash
aleph_0$.''
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Prova.
 Se, de acordo com alguma regra, tirarmos um número finito de elementos
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$t_1, t_2,
\backslash
ldots, t_{v-1}$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$T$
\end_layout

\end_inset

, então sempre permanecerá a possibilidade de se extrair outro elemento
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$t_v$
\end_layout

\end_inset

.
 O conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{t_v
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

, onde 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 designa qualquer número cardinal finito, é um conjunto parcial de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$T$
\end_layout

\end_inset

 que tem número cardinal 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

, porque 
\begin_inset Formula $\{t_{v}\}\sim\{v\}$
\end_inset

 (§1).
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[B.] ``
\backslash
textit{Se $S$ for um conjunto transfinito que tem número cardinal $
\backslash
aleph_0$, e se $S_1$ for algum conjunto parcial transfinito de $S$, então
 $
\backslash
overline{
\backslash
overline{S_1}}=
\backslash
aleph_0$}''
\end_layout

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Prova.
 Suponha que 
\begin_inset Formula $S\sim\{v\}$
\end_inset

; se, de acordo com uma lei de correspondência entre estes dois conjuntos,
 designarmos por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$s_v$
\end_layout

\end_inset

 aquele elemento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 que corresponde ao elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{v
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

, então
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S=
\backslash
{s_v
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
\align block
O conjunto parcial 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S_1$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 consiste em certos elementos 
\begin_inset Formula $s_{\kappa}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 e a totalidade dos números 
\begin_inset Formula $\kappa$
\end_inset

 forma uma parte transfinita 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$K$
\end_layout

\end_inset

 do conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{v
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

.
 De acordo com o teorema G, §5, o conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$K$
\end_layout

\end_inset

 pode ser arranjado na forma de uma série
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $K=\{\kappa_{v}\}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
onde 
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\kappa_{v}<\kappa_{v+1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Consequentemente,
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $S_{1}=\{S_{\kappa_{v}}\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Resulta disto que 
\begin_inset Formula $S_{1}\sim S$
\end_inset

, portanto 
\begin_inset Formula $\overline{\overline{S_{1}}}=\aleph_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
De A e B, levando em conta §2, obtemos a fórmula (4).
\end_layout

\begin_layout Standard
De (2), concluímos, adicionando-se 1 em ambos os lados da equação, que
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\aleph_{0}+2=\aleph_{0}+1=\aleph_{0}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e quando reiteramos esta consideração, concluímos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\aleph_{0}+v=\aleph_{0}.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Mas, também temos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\aleph_{0}+\aleph_{0}=\aleph_{0}.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Pois, de acordo com (1), §3, 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}+\aleph_{0}$
\end_inset

 é o número cardinal 
\begin_inset Formula $\overline{\overline{(\{a_{v}\},\{b_{v}\})}}$
\end_inset

, porque 
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\overline{\overline{\{a_{v}\}}}=\overline{\overline{\{b_{v}\}}}=\aleph_{0}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Agora, obviamente, temos que
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\{v\}=(\{2v-1\},\{2v\})$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $(\{2v-1\},\{2v\})=(\{a_{v}\},\{b_{v}\})$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e, portanto,
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
\align center
\begin_inset Formula $\overline{\overline{(\{a_{v}\},\{b_{v}\})}}=\overline{\overline{\{v\}}}=\aleph_{0}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
A equação (6) também pode ser escrita da seguinte maneira:
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\aleph_{0}.2=\aleph_{0}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e quando adicionamos, em ambos os lados da equação, 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

 repetidas vezes, vemos que
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\aleph_{0}.v=v.\aleph_{0}=\aleph_{0}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Mas, temos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\aleph_{0}.\aleph_{0}=\aleph_{0}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Prova.
 De acordo com (6), em §3, 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}.\aleph_{0}$
\end_inset

 é o número cardinal que pertence ao conjunto de ligação
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\{(\mu,v)\}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
onde 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

 são quaisquer dois números cardinais finitos independentes um do outro.
 Se 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 representar qualquer número cardinal finito (de modo que 
\begin_inset Formula $\{\lambda\}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\{\mu\}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\{v\}$
\end_inset

 são designações diferentes para a mesma totalidade de todos os números
 cardinais finitos), então teremos de mostrar que
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\{(\mu,v)\}\sim\{\lambda\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Se designarmos 
\begin_inset Formula $\mu+v=\rho$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

 admitirá todos os valores numéricos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$2, 3, 4,
\backslash
ldots$
\end_layout

\end_inset

, e haverá, ao todo, 
\begin_inset Formula $\rho-1$
\end_inset

 elementos 
\begin_inset Formula $(\mu,v)$
\end_inset

, para os quais 
\begin_inset Formula $\mu+v=\rho$
\end_inset

, a saber:
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $(1,\rho-1),(2,\rho-2),\ldots,(\rho-1,1)$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Nesta sequência, pense primeiro que é colocado um elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(1,1)$
\end_layout

\end_inset

 para o qual 
\begin_inset Formula $\rho=2$
\end_inset

, e depois que foram colocados os dois elementos para os quais 
\begin_inset Formula $\rho=3$
\end_inset

, e, então, que foram colocados os três elementos para os quais 
\begin_inset Formula $\rho=4$
\end_inset

 e assim por diante, então obtemos todos os elementos 
\begin_inset Formula $(\mu,v)$
\end_inset

 em uma série simples:
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $(1,1);(1,2),(2,1);(1,3),(2,2),(3,1);(1,4),(2,3),\ldots$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
E, na verdade, aqui, como facilmente vemos, o elemento 
\begin_inset Formula $(\mu,v)$
\end_inset

 ocorre na 
\begin_inset Formula $\rho$
\end_inset

-ésima posição, onde
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\lambda=\mu+\frac{(\mu+v-1)(\mu+v-2)}{2}.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 admite, uma vez, qualquer valor numérico 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1, 2, 3,
\backslash
ldots$
\end_layout

\end_inset

; portanto, em virtude de (9), subsiste uma relação reciprocamente unívoca
 entre os conjuntos 
\begin_inset Formula $\{\lambda\}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\{(\mu,v)\}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se ambos os lados da equação (8) forem multiplicados por 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

, então obteremos 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}^{3}=\aleph_{0}^{2}=\aleph_{0}$
\end_inset

 e, através da multiplicação reiterada por 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

, obteremos a equação que é válida para qualquer número cardinal finito
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\aleph_{0}^{n}=\aleph_{0}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Os teoremas E e A, em §5, levam-nos ao teorema sobre conjuntos 
\shape italic
finitos
\shape default
:
\end_layout

\begin_layout Standard
C.
 “
\shape italic
Todo conjunto finito E é tal que ele não é equivalente a nenhum de seus
 conjuntos parciais
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
A este teorema opõe-se nitidamente o seguinte teorema sobre conjuntos 
\shape italic
transfinitos
\shape default
:
\end_layout

\begin_layout Standard
D.
 “
\shape italic
Todo conjunto transfinito 
\shape default

\begin_inset Formula $T$
\end_inset


\shape italic
 é tal que ele tem um conjunto parcial 
\begin_inset Formula $T_{1}$
\end_inset

 o qual é equivalente a 
\shape default

\begin_inset Formula $T$
\end_inset

”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Prova.
 De acordo com o teorema A deste parágrafo, existe um conjunto parcial 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S={t_v}$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$T$
\end_layout

\end_inset

 que tem número cardinal 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

.
 Seja 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$T=(S,U)$
\end_layout

\end_inset

, de maneira que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$U$
\end_layout

\end_inset

 é composto daqueles elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$T$
\end_layout

\end_inset

 os quais são diferentes dos elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$t_v$
\end_layout

\end_inset

.
 Se supusermos que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S_1={t_{v+1}}$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$T_1=(S_1,U)$
\end_layout

\end_inset

, então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$T_1$
\end_layout

\end_inset

 será um conjunto parcial de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$T$
\end_layout

\end_inset

 e, de fato, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$T_1$
\end_layout

\end_inset

 será o conjunto que surge quando suprimimos o único elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$t_1$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$T$
\end_layout

\end_inset

.
 Uma vez que 
\begin_inset Formula $S\sim S_{1}$
\end_inset

 (teorema B deste parágrafo) e 
\begin_inset Formula $U\sim U$
\end_inset

, então também 
\begin_inset Formula $T\sim T_{1}$
\end_inset

 (§1).
\end_layout

\begin_layout Standard
Nestes teoremas C e D, fica nitidamente evidente a diferença essencial entre
 conjuntos finitos e infinitos, à qual já nos referimos no ano de 1877,
 no volume 84 do 
\shape italic
Crelle’s Journal
\shape default
, pág 242.
\end_layout

\begin_layout Standard
Depois que introduzimos o menor número cardinal 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

 e derivamos suas propriedades mais simples, surge a questão dos números
 cardinais maiores e de como eles são obtidos a partir de 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Deveremos mostrar que os números cardinais transfinitos podem ser ordenados
 de acordo com a sua grandeza e, nesta ordenação, eles formam, como os números
 cardinais finitos, embora em um mais sentido amplo, um “
\shape italic
conjunto bem-ordenado
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
De acordo com alguma lei determinada, obtemos de 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

 o próximo maior número cardinal 
\begin_inset Formula $\aleph_{1}$
\end_inset

 e deste, de acordo com a mesma lei, obtemos o próximo maior número cardinal
 
\begin_inset Formula $\aleph_{2}$
\end_inset

 e assim por diante.
\end_layout

\begin_layout Standard
Todavia, até mesmo a sequência ilimitada de números cardinais
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\aleph_{0},\aleph_{1},\aleph_{2},\ldots,\aleph_{n},\ldots$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
não exaure o conceito de número cardinal transfinito.
 Provaremos a existência de um número cardinal que designarmos por 
\begin_inset Formula $\aleph_{\omega}$
\end_inset

.
 Demonstraremos que tal número é o próximo maior número que todos os 
\begin_inset Formula $\aleph_{v}$
\end_inset

; a partir de 
\begin_inset Formula $\aleph_{\omega}$
\end_inset

 é obtido o próximo maior 
\begin_inset Formula $\aleph_{\omega+1}$
\end_inset

, da mesma maneira que é obtido 
\begin_inset Formula $\aleph_{1}$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

 e assim por diante, sem fim.
\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Para cada número cardinal transfinito
\shape default
 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

 existe, segundo uma lei uniforme, um próximo maior número cardinal transfinito
 que é obtido de 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

; mas, também, para cada conjunto bem-ordenado ilimitadamente ascendente
 
\begin_inset Formula $\{\mathfrak{a}\}$
\end_inset

 de números cardinais transfinitos a, existe um próximo maior número cardinal
 transfinito que é obtido, uniformemente, deste conjunto.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para um fundamento rigoroso desta questão, descoberta em 1882 e exposta
 no artigo “Os Fundamentos de uma Teoria Geral de Conjuntos”, assim como,
 no volume 21 de Math.
 Annalen, servimo-nos dos então chamados “tipos ordinais”, cuja teoria,
 primeiramente, temos de explicar nos parágrafos seguintes.
\end_layout

\begin_layout Section
Os tipos ordinais de conjuntos simplesmente ordenados
\end_layout

\begin_layout Standard
Chamaremos um conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 de “
\shape italic
simplesmente ordenado
\shape default
”, se uma “
\shape italic
hierarquia
\shape default
” determinada ocorrer entre seus elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

, de tal forma que, sempre de quaisquer dois elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_2$
\end_layout

\end_inset

, um ocupa uma ordem “
\shape italic
menor
\shape default
”, o outro, uma ordem “
\shape italic
maior
\shape default
” e de tal forma que, de três elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_2$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_3$
\end_layout

\end_inset

, se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

 for, por exemplo, de acordo com a ordem, menor que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_2$
\end_layout

\end_inset

 e este for menor que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_3$
\end_layout

\end_inset

, então 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

 sempre terá uma ordem menor que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_3$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
A relação entre dois elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_2$
\end_layout

\end_inset

, na qual 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

 tem uma ordem menor e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_2$
\end_layout

\end_inset

 tem uma ordem maior na hierarquia, será expressa pela fórmula:
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{equation}{0}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
m_{1}\prec m_{2}\ ,\ m_{2}\succ m_{1}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Assim, por exemplo, todo conjunto de pontos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$P$
\end_layout

\end_inset

 definidos em uma reta infinita será um conjunto simplesmente ordenado se,
 de dois pontos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$p_1$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$p_2$
\end_layout

\end_inset

 que pertencem a tal conjunto de pontos, for destinada a ordem menor àquele,
 cuja coordenada (de acordo com o ponto de origem e com a direção positiva)
 é menor.
\end_layout

\begin_layout Standard
Evidentemente, um e o mesmo conjunto, de acordo com várias diferentes leis,
 poderá ser “simplesmente ordenado”.
 Se admitirmos, por exemplo, o conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 de todos os números racionais positivos 
\begin_inset Formula $\frac{p}{q}$
\end_inset

 (onde 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$p$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$q$
\end_layout

\end_inset

 são relativamente primos) os quais são maiores que 0 e menores que 1, então,
 primeiramente, teremos sua hierarquia “natural” de acordo com a grandeza.
 Mas, eles também podem ser ordenados (e nesta ordenação, queremos designar
 o conjunto por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R_0$
\end_layout

\end_inset

), de tal forma que, de dois números 
\begin_inset Formula $\frac{p_{1}}{q_{1}}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\frac{p_{2}}{q_{2}}$
\end_inset

, para os quais as somas 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$p_1+q_1$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$p_2+q_2$
\end_layout

\end_inset

 têm valores diferentes, o número para o qual a respectiva soma é menor
 recebe a ordem menor e de tal modo que se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$p_1+q_1=p_2+q_2$
\end_layout

\end_inset

, então o menor dos dois números racionais em relação à grandeza será o
 menor em relação à ordem.
\end_layout

\begin_layout Standard
Uma vez que a um e mesmo valor de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$p+q$
\end_layout

\end_inset

 sempre pertence apenas um número finito de números racionais diferentes
 
\begin_inset Formula $\frac{p}{q}$
\end_inset

, nosso conjunto terá, obviamente, nesta hierarquia, a forma
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $R_{0}=(r_{1},r_{2},\ldots,r_{v},\ldots)=(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{2}{5},\frac{3}{4},\ldots)$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
\align block
onde 
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
\align center
\begin_inset Formula $r_{v}\prec r_{v+1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Portanto, quando falamos de um conjunto 
\shape italic
simplesmente ordenado
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

, sempre pensamos em estabelecer uma 
\shape italic
hierarquia determinada
\shape default
 de seus elementos no sentido explicado acima.
\end_layout

\begin_layout Standard
Existem conjuntos que são dupla, tripla, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

-tupla, 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

-tuplamente ordenados, mas, por enquanto, tais conjuntos não serão considerados
 em nossas investigações.
 Portanto, ser-nos-á permitido, no que se segue, usar a curta expressão
 “
\shape italic
conjunto ordenado
\shape default
”, quando quisermos expressar “
\shape italic
conjunto simplesmente ordenado
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
A todo conjunto ordenado 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 pertence um “
\shape italic
tipo ordinal
\shape default
” determinado ou, para sermos mais concisos, “
\shape italic
tipo
\shape default
” determinado, que designaremos por
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\overline{M}\mbox{.}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Por tipo ordinal entendemos 
\shape italic
o conceito geral que obtemos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, quando abstraímos somente da natureza dos elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

, mas mantemos a hierarquia que ocorre entre eles
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Destarte, o tipo ordinal 
\begin_inset Formula $\overline{M}$
\end_inset

 é 
\shape italic
ele próprio um conjunto ordenado
\shape default
, cujos elementos são 
\shape italic
unidades puras
\shape default
 que têm a mesma hierarquia entre si que a dos respectivos elementos de
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, a partir dos quais as unidades puras foram derivadas por abstração.
\end_layout

\begin_layout Standard
Chamaremos dois conjuntos ordenados 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 de “
\shape italic
similares
\shape default
”, se eles puderem ser ordenados recíproca e univocamente, de tal forma
 que se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_2$
\end_layout

\end_inset

 forem quaisquer dois elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n_1$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n_2$
\end_layout

\end_inset

 forem os elementos correspondentes de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, então a relação de ordem que ocorre entre 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_2$
\end_layout

\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 sempre será a mesma que a que ocorre entre 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n_1$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n_2$
\end_layout

\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

.
 Uma tal correspondência entre conjuntos similares será chamada de “
\shape italic
mapeamento
\shape default
” destes conjuntos um sobre o outro.
 Em um tal mapeamento, a todo conjunto parcial 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_1$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 (que obviamente se apresenta como um conjunto ordenado) corresponde um
 conjunto parcial similar 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N_1$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Expressaremos a similaridade entre dois conjuntos ordenados 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 pela fórmula
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
M\cong N\mbox{.}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Todo conjunto ordenado é similar a si mesmo
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard

\shape italic
Se dois conjuntos ordenados forem similares a um terceiro, então eles serão
 similares entre si
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Uma reflexão simples mostrará que 
\shape italic
dois conjuntos ordenados terão o mesmo tipo ordinal se e somente se eles
 forem similares, de tam forma que, de ambas as fórmulas
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\overline{M}=\overline{N}\ ,\ M\cong N\mbox{.}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent

\shape italic
uma é sempre consequência da outra
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se desconsiderarmos também a hierarquia dos elementos em um tipo ordinal
 
\begin_inset Formula $\overline{M}$
\end_inset

, então obteremos o número cardinal 
\begin_inset Formula $\overline{\overline{M}}$
\end_inset

 (§1) do conjunto ordenado 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e este número cardinal será, ao mesmo tempo, o número cardinal do tipo
 ordinal 
\begin_inset Formula $\overline{M}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Resulta de 
\begin_inset Formula $\overline{M}=\overline{N}$
\end_inset

 que 
\begin_inset Formula $\overline{\overline{M}}=\overline{\overline{N}}$
\end_inset

, isto é, conjuntos ordenados que têm tipos iguais sempre terão a mesma
 potência ou o mesmo número cardinal.
 A similaridade entre conjuntos ordenados estabelece sempre a sua equivalência.
 Em contrapartida, dois conjuntos ordenados podem ser equivalentes, sem
 serem similares.
\end_layout

\begin_layout Standard
Usaremos as letras minúsculas do alfabeto grego para designarmos os tipos
 ordinais.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 for um tipo ordinal, então por
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\overline{\alpha}.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
entenderemos seu respectivo número cardinal.
\end_layout

\begin_layout Standard
Os tipos ordinais de conjuntos simplesmente ordenados finitos não oferecem
 nenhum interesse especial.
 Pois, facilmente nos convencemos de que, para um e o mesmo número cardinal
 finito 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

, todos os conjuntos simplesmente ordenados são similares entre si e, portanto,
 têm um e o mesmo tipo.
 Consequentemente, os tipos ordinais simples e finitos, assim como os números
 cardinais finitos, estão sujeitos às mesmas leis e é permitido usar os
 mesmos símbolos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$1, 2, 3,
\backslash
ldots,v,
\backslash
ldots$
\end_layout

\end_inset

 para designá-los, embora os tipos ordinais sejam conceitualmente diferentes
 dos números cardinais.
\end_layout

\begin_layout Standard
A situação é totalmente diferente quando se trata dos 
\shape italic
tipos ordinais transfinitos
\shape default
, porque para um e o mesmo número cardinal transfinito existem inúmeros
 tipos diferentes de conjuntos simplesmente ordenados os quais constituem,
 na sua totalidade, uma “
\shape italic
classe de tipos
\shape default
” particular.
\end_layout

\begin_layout Standard
Todas estas classes de tipo, portanto, são determinadas pelo número cardinal
 transfinito 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

 o qual é comum a todos os tipos individuais que pertencem à classe; Assim,
 chamá-la-emos, resumidamente, de classe de tipos 
\begin_inset Formula $[\mathfrak{a}]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Uma destas classes de tipos, a qual, primeiramente, apresenta-se-nos de
 forma natural, e cuja investigação completa também deverá ser, destarte,
 o próximo objetivo particular da Teoria dos Conjuntos Transfinitos, é a
 classe dos tipos 
\begin_inset Formula $[\aleph_{0}]$
\end_inset

 que compreende todos os tipos que têm o menor número cardinal transfinito
 
\begin_inset Formula $\aleph_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Temos de distinguir o número cardinal 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

, que 
\shape italic
determina
\shape default
 a classe de tipos 
\begin_inset Formula $[\mathfrak{a}]$
\end_inset

, do número cardinal 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}'$
\end_inset

, que 
\shape italic
é determinado, por sua vez, pela classe de tipos
\shape default
 
\begin_inset Formula $[\mathfrak{a}]$
\end_inset

; este último é o número cardinal que pertence à classe de tipos 
\begin_inset Formula $[\mathfrak{a}]$
\end_inset

 (§1), na medida em que ela representa um 
\shape italic
conjunto bem determinado, cujos elementos são todos os tipos
\shape default
 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 
\shape italic
que têm número cardinal
\shape default
 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

.
 Veremos que 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}'$
\end_inset

 difere de 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

 e, de fato, que 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}'$
\end_inset

 é maior que 
\begin_inset Formula $\mathfrak{a}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se, em um conjunto ordenado 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, todas as relações de ordem entre seus elementos forem invertidas, de maneira
 que, em todos os lugares, o “menor” torna-se “maior” e o “maior” torna-se
 “menor", então obteremos novamente um conjunto ordenado que designaremos
 por
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
*M.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e chamaremos de “
\shape italic
inversa
\shape default
” de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se 
\begin_inset Formula $\alpha=\overline{M}$
\end_inset

, então designaremos o tipo ordinal de 
\begin_inset Formula $*M$
\end_inset

 por
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
*\alpha.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Pode ocorrer que 
\begin_inset Formula $*\alpha=\alpha$
\end_inset

, que investigaremos sob a notação 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

.
 Por exemplo, no caso dos tipos finitos ou no caso do tipo do conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 de todos os números racionais que são maiores que 0 e menores que 1 na
 sua hierarquia natural.
\end_layout

\begin_layout Standard
Ademais, observamos que dois conjuntos ordenados similares podem ser mapeados
 um sobre o outro ou em uma única maneira ou em várias maneiras; no primeiro
 caso, o tipo em questão é similar a si mesmo em uma única maneira, no segundo,
 em várias maneiras.
\end_layout

\begin_layout Standard
Assim, não somente todos os tipos finitos, mas também os tipos dos “conjuntos
 bem-ordenados” transfinitos, com os quais nos ocuparemos mais tarde e que
 chamaremos de “números ordinais transfinitos”, são tais que admitem somente
 um único mapeamento sobre eles mesmos.
 Por outro lado, todo tipo 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 é similar a si mesmo em inúmeras maneiras.
\end_layout

\begin_layout Standard
Elucidaremos esta distinção com dois exemplos simples.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 entendemos o tipo de um conjunto bem-ordenado
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(e_1, e_2,
\backslash
ldots, e_v,
\backslash
ldots)$
\end_layout

\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
no qual
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $e_{v}\prec e_{v+1}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
onde 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 representa todos os números cardinais finitos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Um outro conjunto bem-ordenado de mesmo tipo 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset


\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(f_1, f_2,
\backslash
ldots, f_v,
\backslash
ldots)$
\end_layout

\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
com a condição
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $f_{v}\prec f_{v+1}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
poderá ser, evidentemente, apenas “mapeado” sobre aquele conjunto acima,
 de tal forma que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e_v$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f_v$
\end_layout

\end_inset

 são elementos correspondentes.
 Pois, de acordo com a ordem, o menor elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e_1$
\end_layout

\end_inset

 do primeiro conjunto deve corresponder-se, no mapeamento, ao menor elemento
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f_1$
\end_layout

\end_inset

 do segundo conjunto, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e_2$
\end_layout

\end_inset

, o sucessor de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$e_1$
\end_layout

\end_inset

, de acordo com a ordem, deve corresponder-se a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f_2$
\end_layout

\end_inset

, o sucessor de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f_1$
\end_layout

\end_inset

, e assim por diante.
\end_layout

\begin_layout Standard
Qualquer outra correspondência reciprocamente unívoca entre dois conjuntos
 equivalentes 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{e_v
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{f_v
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

 não é um “mapeamento” no sentido em que fixamos acima para a Teoria dos
 Tipos.
\end_layout

\begin_layout Standard
Admitamos, por outro lado, um conjunto ordenado da forma
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$
\backslash
{e_{v'}
\backslash
}$
\end_layout

\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
onde 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v'$
\end_layout

\end_inset

 representa todos os números inteiros positivos e negativos finitos com
 a inclusão de 0 e onde igualmente
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $e_{v'}\prec e_{v'+1}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
Este conjunto, de acordo com a ordem, não tem nem menor elemento, nem maior
 elemento.
 Seu tipo, segundo a definição de soma que daremos em §8, será:
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $*\omega+\omega$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Ele é similar a si mesmo em inúmeras maneiras.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pois, se considerarmos um conjunto de mesmo tipo
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\{f_{v'}\}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
onde
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $f_{v'}\prec f_{v'+1}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
então ambos os conjuntos ordenados poderão ser mapeados um sobre o outro,
 de tal modo que, se entendermos por 
\begin_inset Formula $v'_{0}$
\end_inset

 um dos números 
\begin_inset Formula $v'$
\end_inset

, ao elemento 
\begin_inset Formula $e_{v'}$
\end_inset

 do primeiro conjunto corresponderá o elemento 
\begin_inset Formula $f_{v'_{0}+v'}$
\end_inset

 do segundo.
 Dada a arbitrariedade de 
\begin_inset Formula $v'_{0}$
\end_inset

, temos, portanto, neste caso, infinitos mapeamentos.
\end_layout

\begin_layout Standard
O conceito de “tipo ordinal” aqui desenvolvido, quando ele é transferido
 da mesma maneira para “os conjuntos multiplamente ordenados”, compreende,
 junto com o conceito de “número cardinal ou potência” introduzido em §1,
 tudo “capaz de ser numerado” que é, em geral, pensável e, neste sentido,
 não pode ser ainda mais generalizado.
 O conceito de tipo ordinal não contém nada de arbitrário, mas sim ele é
 a extensão natural do conceito de número.
 
\shape italic
Merece ser particularmente enfatizado que o critério de identidade (4) resulta,
 com necessidade absoluta, do conceito de tipo ordinal e, consequentemente,
 não admite nenhuma alteração
\shape default
.
 O motivo principal do grave erro que é encontrado no trabalho do Sr.
 G.
 Veronese “Os Fundamentos da Geometria” (traduzido para o alemão por A.
 Schepp, Leipzig, 1894) consiste na incompreensão deste fato.
\end_layout

\begin_layout Standard
Na pág.
 30, “o número de um grupo ordenado” é definido em total concordância com
 o que chamamos de “tipo ordinal de um conjunto simplesmente ordenado”.
 (Sobre a Teoria dos Transfinitos, Halle, 1890, pp.
 68-75, reimpresso de 
\shape italic
Zeitsch.t für Philos
\shape default
.
 e 
\shape italic
philos.
 Kritik
\shape default
, do ano de 1887).
\end_layout

\begin_layout Standard
Mas Sr.
 Veronese julga que ele deva fazer um aditamento ao critério de identidade.
 Ele diz na pág.
 31: “Números, cujas unidades se correspondem univocamente e na mesma ordem
 e onde um não é parte do outro, nem igual a uma parte do outro, são iguais”
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
footnoteB{Na edição original italiana (pág.
 27), esta passagem diz textualmente: ``Numeri le unità dei quali si corrispondo
 univocamente e nel medesimo ordine, e di cui l'uno non è parte o uguale
 ad una parte dell' atro, sono uguali''.}
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Esta definição de identidade é circular e, portanto, é sem sentido [
\shape italic
Nonsens
\shape default
].
\end_layout

\begin_layout Standard
O que significa, pois, neste aditamento, “
\shape italic
nem igual a uma parte do outro
\shape default
”?
\end_layout

\begin_layout Standard
Para respondermos esta questão, deveremos, antes de tudo, saber quando dois
 números são iguais ou desiguais.
 Portanto, 
\shape italic
sua definição de identidade
\shape default
 (sem contar com a sua arbitrariedade) 
\shape italic
pressupõe uma definição de identidade, que novamente pressupõe uma definição
 de identidade, na qual devemos novamente saber o que é igual e desigual
 e assim por diante, e assim por diante, ad infinitum
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Depois que Sr.
 Veronese abandonou, voluntariamente, por assim dizer, o fundamento imprescindív
el para comparação de números, não deveríamos admirar-nos com o desregramento
 [
\shape italic
Regellosigkeit
\shape default
] no qual ele operou, posteriormente, com seus números pseudo-transfinitos
 e aos quais ele atribuiu propriedades que eles não poderiam possuir, simplesmen
te porque eles mesmos, na forma imaginada por Sr.
 Veronese, não têm nenhuma existência, senão, pois, no papel.
 Assim, a semelhança incrível que sua formação de números tem com “números
 transfinitos” muito absurdos apresentados em “Geometria do Infinito” de
 Fontennelle (Paris, 1727) também se torna compreensível.
\end_layout

\begin_layout Standard
Recentemente, Sr.
 W.
 Killing expressou, de forma louvável, em “Index lectionum” da academia
 de Münster (em 1895-96), suas dúvidas em relação ao fundamento do livro
 de Veronese.
\end_layout

\begin_layout Section
Adição e multiplicação dos tipos ordinais
\end_layout

\begin_layout Standard
O conjunto união 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M, N)$
\end_layout

\end_inset

 de dois conjuntos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, quando estes são ordenados, pode ser concebido como um conjunto ordenado
 no qual as relações de ordem que ocorrem entre os elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, assim como as relações de ordem que ocorrem entre os elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 permanecem as mesmas que as que ocorrem em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 ou 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, respectivamente e, por outro lado, todos os elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 têm uma ordem menor que todos os elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

.
 Se 
\begin_inset Formula $M'$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $N'$
\end_inset

 forem dois outros conjuntos ordenados e se 
\begin_inset Formula $M\cong M'$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $N\cong N'$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $(M,N)\cong(M',N')$
\end_inset

; portanto, o tipo ordinal de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$(M,N)$
\end_layout

\end_inset

 depende apenas dos tipos ordinais 
\begin_inset Formula $\overline{M}=\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\overline{N}=\beta$
\end_inset

.
 Assim, definiremos:
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{equation}{0}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\alpha+\beta=\overline{(M,N)}.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Na soma 
\begin_inset Formula $\alpha+\beta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 será chamado de “adicionado”, 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 será chamado de “adicionante”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Para quaisquer três tipos, facilmente provamos a lei associativa:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Por outro lado, a lei comutativa não é, em geral, válida para a adição de
 tipos.
 Já veremos isto no seguinte simples exemplo.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 for, como mencionado em §7, o tipo do conjunto bem-ordenado
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $E=(e_{1},e_{2},\ldots,e_{v},\ldots),$
\end_inset

 
\begin_inset Formula $e_{v}\prec e_{v+1}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
então 
\begin_inset Formula $1+\omega$
\end_inset

 não será igual a 
\begin_inset Formula $\omega+1$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pois, se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 for um novo elemento, então, de acordo com (1), teremos que
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $1+\omega=\overline{(f,E)}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\omega+1=\overline{(E,f)}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
O conjunto
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $(f,E)=(f,e_{1},e_{2},\ldots,e_{v},\ldots)$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
é, porém, similar ao conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E$
\end_layout

\end_inset

, consequentemente
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $1+\omega=\omega$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Em contrapartida, os conjuntos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$E$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $(E,f)$
\end_inset

 não são similares, porque o primeiro conjunto não tem, de acordo com a
 ordem, um maior membro, todavia o segundo tem o maior membro 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

.
 
\begin_inset Formula $\omega+1$
\end_inset

 é, portanto, diferente de 
\begin_inset Formula $1+\omega$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
A partir de dois conjuntos ordenados 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

 que têm tipos, respectivamente, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

, podemos obter um conjunto ordenado 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

, substituindo, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$N$
\end_layout

\end_inset

, todos os elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$n$
\end_layout

\end_inset

 por um conjunto ordenado 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_n$
\end_layout

\end_inset

, o qual tem o mesmo tipo 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, de tal forma que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\overline{M_{n}}=\alpha,
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e apresentando, em relação à hierarquia que ocorre em
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
S=\{M_{n}\},
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
as seguintes determinações:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[1)]
\end_layout

\end_inset

quaisquer dois elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

, que pertencem a um e mesmo conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_n$
\end_layout

\end_inset

, mantêm, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

, a mesma relação de ordem que em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_n$
\end_layout

\end_inset

;
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[2)]
\end_layout

\end_inset

quaisquer dois elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

, que pertencem a dois conjuntos diferentes 
\begin_inset Formula $M_{n_{1}}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $M_{n_{2}}$
\end_inset

, mantêm, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

, a mesma relação de ordem que 
\begin_inset Formula $n_{1}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $n_{2}$
\end_inset

 têm em 
\begin_inset Formula $N$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
O tipo ordinal de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

, com facilmente é visto, depende somente dos tipos 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

; definiremos:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\alpha.\beta=\overline{S}\mbox{.}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Neste produto, 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

 será chamado de “
\shape italic
multiplicando
\shape default
” e 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 será chamado de “
\shape italic
multiplicador
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
De acordo com algum mapeamento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 sobre 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_n$
\end_layout

\end_inset

, seja 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_n$
\end_layout

\end_inset

 o elemento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_n$
\end_layout

\end_inset

 que corresponde ao elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Então, podemos também escrever
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
S=\{m_{n}\}.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Se admitirmos um terceiro conjunto ordenado 
\begin_inset Formula $P=\{p\}$
\end_inset

 que tem o tipo ordinal 
\begin_inset Formula $\overline{P}=\gamma$
\end_inset

, então, de acordo com (5), teremos que
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\alpha.\beta=\overline{\{m_{n}\}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\beta.\gamma=\overline{\{n_{p}\}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\alpha.\beta).\gamma=\overline{\{(m_{n})_{p}\}}$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\alpha.\beta).\gamma=\overline{\{m{}_{(n_{p})}\}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Porém, ambos os conjuntos ordenados 
\begin_inset Formula $\{(m_{n})_{p}\}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\{m_{(n_{p})}\}$
\end_inset

 são similares e são mapeados um sobre o outro, considerando-se 
\begin_inset Formula $(m_{n})_{p}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $m_{(n_{p})}$
\end_inset

 como elementos correspondentes.
\end_layout

\begin_layout Standard
Consequentemente, para três tipos 
\begin_inset Formula $\alpha$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\beta$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\gamma$
\end_inset

 , a 
\shape italic
lei associativa
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
(\alpha.\beta).\gamma=\alpha.(\beta.\gamma)\mbox{ .}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
subsiste.
\end_layout

\begin_layout Standard
De (1) e (5), resulta facilmente a 
\shape italic
lei distributiva
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\alpha.(\beta+\gamma)=\alpha.\beta+\alpha.\gamma\mbox{ .}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Contudo apenas nesta forma, 
\shape italic
onde o fator que tem dois membros desempenha o papel de multiplicador
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por outro lado, a lei comutativa para a multiplicação, em relação aos tipos,
 assim como para adição, não é geralmente válida.
\end_layout

\begin_layout Standard
Por exemplo, 
\begin_inset Formula $2.\omega$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\omega.2$
\end_inset

 são tipos diferentes; de acordo com (5),
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $2.\omega=\overline{(e_{1},f_{1};e_{2},f_{2};\ldots;e_{v},f_{v};\ldots)}=\omega$
\end_inset

;
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
em contrapartida,
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\omega.2=\overline{(e_{1},e_{2},\ldots,e_{v},\ldots;f_{1},f_{2},\ldots,f_{v},\ldots)}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
que é evidentemente diferente de 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se compararmos as definições das operações elementares para números cardinais
 apresentadas em §3 com as aqui estabelecidas para tipos ordinais, então
 facilmente reconheceremos que o número cardinal da soma de dois tipos é
 igual à soma dos números cardinais dos tipos individuais e que o número
 cardinal do produto de dois tipos é igual ao produto dos números cardinais
 dos tipos individuais.
\end_layout

\begin_layout Standard
Portanto, toda equação entre tipos ordinais que resulta das duas operações
 elementares também permanecerá correta, mesmo se substituirmos, na equação,
 todos os tipos pelos seus números cardinais.
\end_layout

\begin_layout Section
O tipo ordinal 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 do conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 de todos os números racionais, que são maiores que 0 e menores que 1, na
 sua hierarquia natural
\end_layout

\begin_layout Standard
Por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 entenderemos, como em §7, o sistema de todos os números racionais 
\begin_inset Formula $\frac{p}{q}$
\end_inset

 (
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$p$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$q$
\end_layout

\end_inset

 pensados como relativamente primos), que são maiores que 0 e menores que
 1, 
\shape italic
na sua hierarquia natural
\shape default
, onde a grandeza do número determina a sua ordem.
 Designaremos o tipo ordinal de R por 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

:
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{equation}{0}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\eta=\overline{R}\mbox{.}
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Porém, o mesmo conjunto pode ser posto em uma outra hierarquia na qual chamaremo
s este conjunto de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R_0$
\end_layout

\end_inset

.
 Em primeiro lugar, a grandeza de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$p+q$
\end_layout

\end_inset

 determina a sua ordem e, em segundo lugar, a própria grandeza de 
\begin_inset Formula $\frac{p}{q}$
\end_inset

 determina a sua ordem, a saber, em relação aos números racionais, para
 os quais tem o mesmo valor.
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R_0$
\end_layout

\end_inset

 tem a forma de um conjunto bem-ordenado do tipo 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
R_{0}=(r_{1},r_{2},\ldots r_{v},\ldots)\mbox{, onde\ }r_{v}\prec r_{v+1}.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\overline{R_{0}}=\omega.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R_0$
\end_layout

\end_inset

 têm o mesmo número cardinal, porque eles somente se diferenciam na hierarquia
 dos seus elementos, e uma vez que obviamente 
\begin_inset Formula $\overline{\overline{R_{0}}}=\aleph_{0}$
\end_inset

, então também teremos que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\overline{\overline{R}}=\overline{\eta}=\aleph_{0}.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Destarte, o tipo 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 pertence à classe de tipos 
\begin_inset Formula $[\aleph_{0}]$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Em segundo lugar, observamos que, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

, não existe, de acordo com a ordem, nem o menor elemento, nem o maior.
\end_layout

\begin_layout Standard
Em terceiro lugar, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 tem a propriedade, segundo a qual entre quaisquer dois de seus elementos
 se encontram, de acordo com a ordem, outros elementos; expressaremos esta
 propriedade palavras: 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 é “
\shape italic
denso por toda parte
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Mostraremos agora que estas três propriedades caracterizam o tipo 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

, de tal forma que os seguinte teoremas são justificados:
\end_layout

\begin_layout Standard
“Se tivermos um conjunto simplesmente ordenado M que satisfaça a três condições:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[1)]
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Formula $\overline{\overline{M}}=\aleph_{0}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[2)]
\end_layout

\end_inset


\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 não tem, de acordo com a ordem, nem menor elemento, nem maior elemento,
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[3)]
\end_layout

\end_inset


\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
é denso por toda parte
\shape default
,
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
então o tipo ordinal de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 é igual a 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

:
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $\overline{M}=\eta$
\end_inset


\begin_inset Quotes erd
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Prova.
 Por causa da condição 1) 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 pode ser arranjado na forma de um conjunto bem-ordenado do tipo 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

; tomando-se por base uma tal forma, designaremos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 por 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_0$
\end_layout

\end_inset

 e estabeleceremos
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
M_{0}=(m_{1},m_{2},\ldots,m_{v},\ldots).
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Então, temos de mostrar que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
M\cong R.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Ou seja, deveremos provar que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 pode ser 
\shape italic
mapeado
\shape default
 sobre 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

, de tal maneira que a relação de ordem que ocorre entre quaisquer dois
 elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 é a mesma que a ocorre entre dois elementos correspondentes de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
O elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_1$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 pode corresponder-se ao elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_2$
\end_layout

\end_inset

 tem uma relação de ordem determinada com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_1$
\end_layout

\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

; por causa da condição 2), existem infinitos elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_v$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 que têm, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, a mesma relação de ordem com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

 que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_2$
\end_layout

\end_inset

 tem, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

, com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_1$
\end_layout

\end_inset

; destes infinitos elementos, escolheremos aquele que, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_0$
\end_layout

\end_inset

, tem o menor subscrito.
 Seja 
\begin_inset Formula $m_{i_{2}}$
\end_inset

 e coordenamo-lo a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_2$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_3$
\end_layout

\end_inset

 tem, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

, relações de ordem determinadas com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_1$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_2$
\end_layout

\end_inset

; por causa da condições 2) e 3), existem infinitos elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_v$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 que têm, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, as mesmas relações de ordem com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_1$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $m_{i_{2}}$
\end_inset

 que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_3$
\end_layout

\end_inset

 tem, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

, com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_1$
\end_layout

\end_inset

 e com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_2$
\end_layout

\end_inset

; destes infinitos elementos, escolhemos aquele que, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_0$
\end_layout

\end_inset

, tem o menor subscrito.
 Suponha 
\begin_inset Formula $m_{i_{3}}$
\end_inset

 e coordenamo-lo a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_3$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
De acordo com esta lei, podemos pensar no processo contínuo de correspondência;
 se aos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 elementos
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $r_{1},r_{2},r_{3},\ldots,r_{v}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
de R corresponderem, como mapa, os elementos determinados
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $m_{1},m_{i_{2}},m_{i_{3}},\ldots,m_{i_{v}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 que têm entre si, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, a mesma relação de ordem que a dos elementos correspondentes em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

, então ao elemento 
\begin_inset Formula $r_{v+1}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 corresponderá, como mapa, o elemento 
\begin_inset Formula $m_{i_{v+1}}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 de menor subscrito em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_0$
\end_layout

\end_inset

 que tem, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, as mesmas relações de ordem com
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $m_{1},m_{i_{2}},m_{i_{3}},\ldots,m_{i_{v}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
que 
\begin_inset Formula $r_{v+1}$
\end_inset

, em R, tem com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_1, r_2,
\backslash
ldots,r_v$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Desta forma, correlacionamos os elementos determinados 
\begin_inset Formula $m_{i_{v}}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 a 
\shape italic
todos
\shape default
 os elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_v$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

, e os elementos 
\begin_inset Formula $m_{i_{v}}$
\end_inset

 têm, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, a mesma hierarquia que a dos elementos correspondentes 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r_v$
\end_layout

\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Mas, ainda temos de mostrar que os elementos 
\begin_inset Formula $m_{i_{v}}$
\end_inset

 compreendem 
\shape italic
todos os
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_v$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
de
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 ou, o que é a mesma coisa, que a série
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $1,\iota_{2},\iota_{3},\ldots,\iota_{v},\ldots$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
é apenas uma 
\shape italic
permutação
\shape default
 da série
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $1,2,3,\ldots,v,\ldots$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Provaremos isto por 
\shape italic
indução completa
\shape default
, ao mostrarmos que 
\shape italic
se
\shape default
 os elementos 
\begin_inset Formula $m_{1},m_{2},\ldots,m_{v}$
\end_inset

 ocorrem no mapeamento, o 
\shape italic
mesmo acontece também com o próximo elemento
\shape default
 
\begin_inset Formula $m_{v+1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Seja 
\begin_inset Formula $\lambda$
\end_inset

 tão grande, que ocorrem, entre os elementos
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $m_{1},m_{\iota_{2}},m_{\iota_{3}},\ldots,m_{\iota_{\lambda}}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
os elementos
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $m_{1},m_{2},\ldots,m_{v}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
(que, de acordo com a suposição, aparecem no mapeamento).
 Talvez, 
\begin_inset Formula $m_{v+1}$
\end_inset

 também possa ser encontrado entre estes; então 
\begin_inset Formula $m_{v+1}$
\end_inset

 aparece no mapeamento.
\end_layout

\begin_layout Standard
Mas, se não encontrarmos 
\begin_inset Formula $m_{v+1}$
\end_inset

 entre os elementos
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $m_{1},m_{\iota_{2}},m_{\iota_{3}},\ldots,m_{\iota_{\lambda}}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
então 
\begin_inset Formula $m_{v+1}$
\end_inset

 terá com estes elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, uma posição de ordem determinada; infinitos elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 têm a mesma posição de ordem em relação a 
\begin_inset Formula $r_{1},r_{2},\ldots,r_{\lambda}$
\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

, entre os quais suponha 
\begin_inset Formula $r_{\lambda+\sigma}$
\end_inset

 que tem o menor subscrito em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R_0$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Então, como facilmente nos convencemos, 
\begin_inset Formula $m_{v+1}$
\end_inset

 também terá, em relação a
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $m_{1},m_{\iota_{2}},m_{\iota_{3}},\ldots,m_{\iota_{\lambda+\sigma-1}}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
a mesma posição de ordem em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 que 
\begin_inset Formula $r_{\lambda+\sigma}$
\end_inset

 tem em relação a
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $r_{1},r_{2},\ldots,r_{\lambda+\sigma-1}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

.
 Uma vez que 
\begin_inset Formula $m_{1},m_{2},\ldots,m_{v}$
\end_inset

 já apareceram no mapeamento, então 
\begin_inset Formula $m_{v+1}$
\end_inset

 é o elemento com o menor subscrito em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M_0$
\end_layout

\end_inset

 que tem esta posição de ordem em relação a
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $m_{1},m_{\iota_{2}},m_{\iota_{3}},\ldots,m_{\iota_{\lambda+\sigma-1}}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Consequentemente, de acordo com a nossa lei de correspondência,
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $m_{\iota_{\lambda+\sigma}}=m_{v+1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Portanto, neste caso, o elemento 
\begin_inset Formula $m_{v+1}$
\end_inset

 também aparece no mapeamento e, de fato, 
\begin_inset Formula $r_{\lambda+\sigma}$
\end_inset

 é o elemento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 que está correlacionado àquele.
\end_layout

\begin_layout Standard
Vemos, assim, que, por meio de nosso modo de correspondência, 
\shape italic
o conjunto inteiro
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 é mapeado 
\shape italic
sobre conjunto inteiro
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

; 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 são conjuntos similares, o que queríamos provar.
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
rule{4cm}{2pt}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Do teorema que acabamos de provar, obtemos, por exemplo, os seguintes teoremas:
\end_layout

\begin_layout Standard
“
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 é o tipo ordinal do conjunto de todos os números racionais positivos e
 negativos, incluindo o número zero, na sua hierarquia natural”.
\end_layout

\begin_layout Standard
“
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 é o tipo ordinal do conjunto de todos os números racionais que são maiores
 que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 e menores que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

 na sua hierarquia natural, onde 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

 são quaisquer dois números reais e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a<b$
\end_layout

\end_inset

”.
\end_layout

\begin_layout Standard
“
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 é o tipo ordinal de conjunto de todos os números reais algébricos na sua
 hierarquia natural”.
\end_layout

\begin_layout Standard
“
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 é o tipo ordinal do conjunto de todos os números reais algébricos que são
 maiores que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 e menores que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

 na sua hierarquia natural, onde 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$b$
\end_layout

\end_inset

 são quaisquer dois números reais e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$a<b$
\end_layout

\end_inset

”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Todos estes conjuntos ordenados, pois, satisfazem as três condições exigidas
 em nosso teorema para 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 (compare com Crelle´s Journal, vol.
 77, pág.
 258).
\end_layout

\begin_layout Standard
Se, ademais, considerarmos, de acordo com as definições dadas em §8, os
 conjuntos que têm tipos 
\begin_inset Formula $\eta+\eta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\eta\eta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(1+\eta)\eta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(\eta+1)\eta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(1+\eta+1)\eta$
\end_inset

, então veremos que estes conjuntos também satisfazem aquelas três condições.
 Por conseguinte, temos os teoremas:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\eta+\eta=\eta.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\eta\eta=\eta.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
(1+\eta)\eta=\eta.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
(\eta+1)\eta=\eta.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
(1+\eta+1)\eta=\eta.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
A aplicação reiterada de (7) e (8) resulta, para todo número finito v, que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\eta.v=\eta.
\end{equation}

\end_inset


\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
\align block
e
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\eta^{v}=\eta.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Por outro lado, como facilmente vemos, para 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v>1$
\end_layout

\end_inset

, os tipos 
\begin_inset Formula $1+\eta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\eta+1$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $v.\eta$
\end_inset

, 
\begin_inset Formula $(1+\eta+1)$
\end_inset

 são diferentes entre si, como também de 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

.
 Em compensação, 
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\eta+1+\eta=\eta.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Entretanto, para 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v>1$
\end_layout

\end_inset

, 
\begin_inset Formula $\eta+v+\eta$
\end_inset

 é diferente de 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Finalmente, merece ser salientado que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
*\eta=\eta.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Section
A série fundamental contida em um conjunto ordenado transfinito
\end_layout

\begin_layout Standard
Consideremos qualquer conjunto simplesmente ordenado transfinito 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

.
 Todo conjunto parcial de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 é um conjunto ordenado.
 Para o estudo do tipo 
\begin_inset Formula $\overline{M}$
\end_inset

, aqueles conjuntos parciais aos quais pertencem os tipos 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $*\omega$
\end_inset

 parecem ser especialmente valiosos; chamá-los-emos de “
\shape italic
série fundamental de primeira ordem contida em
\shape default
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

”.
 De fato, chamaremos a primeira série (de tipo 
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

) de “
\shape italic
ascendente
\shape default
”, a outra (de tipo 
\begin_inset Formula $*\omega$
\end_inset

) de “
\shape italic
descendente
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Uma vez que nos limitaremos à consideração da série fundamental de 
\shape italic
primeira ordem
\shape default
 (mais tarde, também nos ocuparemos com a investigação de séries de 
\shape italic
ordem superior
\shape default
), então iremos chamá-las aqui simplesmente de “
\shape italic
série fundamental
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Uma “série fundamental ascendente”, portanto, tem a forma
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{equation}{0}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\{a_{v}\}\mbox{, onde }a_{v}\prec a_{v+1},
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
uma “série fundamental descendente” é da forma
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\{b_{v}\}\mbox{, onde }b_{v}\succ b_{v+1}.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\nu$
\end_inset

 (assim como 
\begin_inset Formula $\kappa,\lambda,\mu$
\end_inset

) designa, por toda a parte nas nossas considerações, qualquer número cardinal
 
\shape italic
finito
\shape default
 ou, também, qualquer tipo 
\shape italic
finito
\shape default
, respectivamente, de um número ordinal 
\shape italic
finito
\shape default
.
\end_layout

\begin_layout Standard
Chamaremos duas séries fundamentais ascendentes 
\begin_inset Formula $\{a_{v}\}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\{a'_{v}\}$
\end_inset

 contidas em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 de “
\shape italic
relacionadas
\shape default
”, em símbolos
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\{a_{v}\}\Vert\{a'_{v}\},
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
se, para todo elemento 
\begin_inset Formula $a_{v}$
\end_inset

, existirem elementos 
\begin_inset Formula $a'_{\lambda}$
\end_inset

, tais que
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $a_{v}\prec a'_{\lambda}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e se, para todo elemento 
\begin_inset Formula $a'_{v}$
\end_inset

, existirem elementos 
\begin_inset Formula $a_{\mu}$
\end_inset

, tais que
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $a'_{v}\prec a_{\mu}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Duas sérias fundamentais descendentes 
\begin_inset Formula $\{b_{v}\}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\{b'_{v}\}$
\end_inset

 contidas em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 serão chamadas de “relacionadas”, em símbolos
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\{b_{v}\}\Vert\{b'_{v}\},
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
se, para todo elemento 
\begin_inset Formula $b_{v}$
\end_inset

, existirem elementos 
\begin_inset Formula $b'_{\lambda}$
\end_inset

, tais que 
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $b_{v}\succ b'_{\lambda}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e se, para todo elemento 
\begin_inset Formula $b'_{v}$
\end_inset

, existirem elementos 
\begin_inset Formula $b_{\mu}$
\end_inset

, tais que 
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $b'_{v}\succ b{}_{\mu}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Chamaremos uma série fundamental ascendente 
\begin_inset Formula $\{a_{v}\}$
\end_inset

 e uma série fundamental descendente 
\begin_inset Formula $\{b_{v}\}$
\end_inset

 de “
\shape italic
relacionadas
\shape default
”, em símbolos
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\{a_{v}\}\Vert\{b{}_{v}\},
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
se 1), para todos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\mu$
\end_inset

,
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $a_{v}\prec b_{\mu}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e se 2) existir em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
no máximo um
\shape default
 elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m_0$
\end_layout

\end_inset

 (portanto, ou apenas um ou nenhum), tal que, para todo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

,
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $a_{v}\prec m_{0}\prec b_{v}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Então, os teoremas abaixo são justificados:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[A.]
\end_layout

\end_inset

“
\shape italic
Se duas séries fundamentais forem relacionadas com uma terceira, então elas
 serão relacionadas entre si
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[B.]
\end_layout

\end_inset

“
\shape italic
Duas séries fundamentais que têm a mesma direção, onde uma é um conjunto
 parcial da outra, são sempre relacionadas
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Se existir em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 um elemento 
\begin_inset Formula $m_{0}$
\end_inset

 que tem uma posição em relação à serie fundamental ascendente 
\begin_inset Formula $\{a_{v}\}$
\end_inset

, tal que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[1)]
\end_layout

\end_inset

1) para todo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $a_{v}\prec m_{0}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[2)]
\end_layout

\end_inset

para todo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 de M que é 
\begin_inset Formula $\prec m_{0}$
\end_inset

, há um certo número 
\begin_inset Formula $v_{0}$
\end_inset

, de maneira que
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $a_{v}\succ m$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $v\geq v_{0}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
então chamaremos 
\begin_inset Formula $m_{0}$
\end_inset

 de “
\shape italic
elemento-limite de 
\begin_inset Formula $\{a_{v}\}$
\end_inset

 em M
\shape default
” e também de “
\shape italic
elemento principal de M
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Da mesma maneira, chamaremos 
\begin_inset Formula $m_{0}$
\end_inset

 de “
\shape italic
elemento principal de M
\shape default
” e também de “
\shape italic
elemento-limite de 
\begin_inset Formula $\{b_{v}\}$
\end_inset

 em M
\shape default
”, se as condições abaixo forem satisfeitas:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[1)]
\end_layout

\end_inset

1) para todo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset


\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $b_{v}\succ m_{0}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[2)]
\end_layout

\end_inset

para todo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$m$
\end_layout

\end_inset

 de M que é 
\begin_inset Formula $\succ m_{0}$
\end_inset

, há um certo número 
\begin_inset Formula $v_{0}$
\end_inset

, de maneira que
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $b_{v}\prec m$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $v\geq v_{0}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Uma série fundamental 
\shape italic
nunca
\shape default
 pode ter 
\shape italic
mais do que um
\shape default
 elemento-limite em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

; mas, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 tem, em geral, muitos elementos principais.
\end_layout

\begin_layout Standard
Convencemo-nos da verdade dos seguintes teoremas:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[C.]
\end_layout

\end_inset

“
\shape italic
Se uma série fundamental tiver um elemento-limite em M, então todas as séries
 fundamentais que lhe são relacionadas terão o mesmo elemento-limite em
 M
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[D.]
\end_layout

\end_inset

“
\shape italic
Se duas séries fundamentais (com mesma direção ou com direções diferentes)
 tiverem o mesmo elemento-limite em M, então elas serão relacionadas
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $M'$
\end_inset

 forem dois conjuntos ordenados similares, de tal forma que
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\overline{M}=\overline{M'},
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
e se considerarmos 
\shape italic
qualquer mapeamento
\shape default
 entre os dois conjuntos, então serão válidos, como facilmente é visto,
 os seguintes teoremas:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
begin{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[E.]
\end_layout

\end_inset

“
\shape italic
A toda série fundamental em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 corresponde, como mapa, uma série fundamental em 
\begin_inset Formula $M'$
\end_inset

 e vice-versa; a toda séria ascendente corresponde uma ascendente em 
\begin_inset Formula $M'$
\end_inset

 e a toda descendente 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, uma descendente em 
\begin_inset Formula $M'$
\end_inset

; a toda série fundamental relacionada em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 corresponde, como mapa, uma série fundamental relacionada em 
\begin_inset Formula $M'$
\end_inset

 e vice-versa
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[F.]
\end_layout

\end_inset

“
\shape italic
Se a uma série fundamental em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 pertencer um elemento-limite em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, então a toda série fundamental correspondente em 
\begin_inset Formula $M'$
\end_inset

 também pertencerá um elemento-limite em 
\begin_inset Formula $M'$
\end_inset

 e vice-versa; e estes dois elementos limites são mapas um do outro no mapeament
o
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
item[G.]
\end_layout

\end_inset

“
\shape italic
Aos elementos principais de 
\shape default

\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
correspondem, como mapa, os elementos principais de
\shape default
 
\shape italic

\begin_inset Formula $M'$
\end_inset


\shape default
 
\shape italic
e vice-versa
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
end{enumerate}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Se um conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 consiste em elementos principais, de maneira que cada um dos seus elementos
 é um elemento principal, então o chamaremos de “
\shape italic
conjunto denso em si mesmo
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se para toda série fundamental em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 existir um elemento-limite em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, então chamaremos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 de “
\shape italic
conjunto fechado
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Um conjunto que é tanto “
\shape italic
denso em si mesmo
\shape default
”, quanto “
\shape italic
fechado
\shape default
” será chamado de “
\shape italic
conjunto perfeito
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se um conjunto tiver um destes três predicados, então a todo conjunto similar
 pertencerá também o mesmo predicado; consequentemente, estes predicados
 poderão ser atribuídos também aos tipos ordinais correspondentes e, assim,
 haverá “
\shape italic
tipos densos em si mesmos
\shape default
”, “
\shape italic
tipos fechados
\shape default
”, “
\shape italic
tipos perfeitos
\shape default
” e, igualmente, “
\shape italic
tipos densos por toda parte
\shape default
” (§9).
\end_layout

\begin_layout Standard
Portanto, por exemplo, 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 é um tipo “
\shape italic
denso em si mesmo
\shape default
”, como foi mostrado em §9; 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 também é “
\shape italic
denso por toda parte
\shape default
”, mas não é “
\shape italic
fechado
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula $\omega$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $*\omega$
\end_inset

 não têm elementos principais (não têm um único elemento principal); por
 outro lado, 
\begin_inset Formula $\omega+v$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $v+*\omega$
\end_inset

 têm um elemento principal e são tipos “
\shape italic
fechados
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
O tipo 
\begin_inset Formula $\omega.3$
\end_inset

 tem dois elementos principais, mas não é “
\shape italic
fechado
\shape default
”; o tipo 
\begin_inset Formula $\omega.3+v$
\end_inset

 tem três elementos principais e é “
\shape italic
fechado
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Section
O tipo ordinal 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 do continuum linear 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Voltemo-nos à investigação do tipo ordinal do conjunto 
\begin_inset Formula $X=\{x\}$
\end_inset

 de todos os números reais 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 que são 
\begin_inset Formula $\geq0$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\leq1$
\end_inset

 na sua hierarquia natural, de tal forma que, para quaisquer dois elementos
 
\begin_inset Formula $x$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $x'$
\end_inset

,
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{equation}{0}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
x\prec x'\ \mbox{se }x<x'.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Seja a notação para este tipo
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout


\backslash
setcounter{equation}{0}
\end_layout

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
\overline{X}=\theta.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Dos elementos da teoria dos números racionais e irracionais sabemos que
 toda série fundamental 
\begin_inset Formula $\{x_{v}\}$
\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 tem um elemento-limite 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 e que, inversamente, todo elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$x$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 também é um elemento-limite, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

, das séries fundamentais relacionadas.
 Portanto, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 é um “
\shape italic
conjunto perfeito
\shape default
” e 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 é um “
\shape italic
tipo perfeito
\shape default
”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Mas, 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 ainda não é suficientemente caracterizado por isto, antes temos de ter
 em vista a seguinte propriedade de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

:
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 
\shape italic
contém
\shape default
 como um conjunto parcial o conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 de tipo ordinal 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

 investigado em §9, 
\shape italic
de maneira que, em particular, entre quaisquer dois elementos
\shape default
 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $x_{1}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 se encontram, de acordo com a ordem, os elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Agora, temos de mostrar que 
\shape italic
estas propriedades consideradas ao mesmo tempo
\shape default
 caracterizam completamente o tipo ordinal 
\begin_inset Formula $\theta$
\end_inset

 do 
\shape italic
continuum
\shape default
 linear 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

, de tal forma que o teorema abaixo é válido:
\end_layout

\begin_layout Standard
“
\shape italic
Se um conjunto ordenado 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 for tal que 
\shape default
1)
\shape italic
 ele é perfeito, 
\shape default
2)
\shape italic
 nele está contido um conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 com número cardinal 
\begin_inset Formula $\overline{\overline{S}}=\aleph_{0}$
\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 tem uma relação com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, segundo a qual entre quaisquer dois elementos 
\begin_inset Formula $m_{0}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $m_{1}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 se encontram, de acordo com a ordem, os elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

, então
\shape default
 
\begin_inset Formula $\overline{M}=\theta$
\end_inset

”.
\end_layout

\begin_layout Standard
Prova.
 Se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 tivesse um menor elemento ou um maior elemento, então estes elementos,
 por causa de 2), teriam o mesmo caráter que os elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

; poderíamos, pois, tirá-los de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

, sem que este conjunto perdesse, por meio disso, a relação com 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 expressa em 2).
\end_layout

\begin_layout Standard
Assim, supomos, de antemão, que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 não tem nem um menor elemento, nem um maior elemento; então, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 tem, de acordo com §9, o tipo ordinal 
\begin_inset Formula $\eta$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Pois, uma vez que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 é uma parte de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, então, de acordo com 2), entre quaisquer dois elementos 
\begin_inset Formula $s_{0}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $s_{1}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 têm de se encontrar, de acordo com a ordem, outros elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

.
 Ademais, temos, de acordo com 2), 
\begin_inset Formula $\overline{\overline{S}}=\aleph_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Os dois conjuntos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 são, portanto, “similares” um ao outro,
\end_layout

\begin_layout Standard
\begin_inset Formula 
\begin{equation}
S\cong R.
\end{equation}

\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
Considerarmos qualquer “
\shape italic
mapeamento
\shape default
” de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 sobre 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 e afirmarmos que também resulta deste um “
\shape italic
mapeamento
\shape default
” determinado de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 sobre 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 da seguinte maneira:
\end_layout

\begin_layout Standard
Todos os elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 que ao mesmo tempo pertencem ao conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 poderiam corresponder, como mapa, àqueles elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 que são também elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 e, no mapeamento pressuposto de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 sobre 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

, poderiam corresponder àqueles elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Mas, se 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 for um elemento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 que não pertence a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 poderá ser considerado como o elemento-limite de uma série fundamental
 
\begin_inset Formula $\{x_{v}\}$
\end_inset

 contida em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 e esta série pode ser substituída por uma série fundamental relacionada
 a ela 
\begin_inset Formula $r_{\kappa_{v}}$
\end_inset

 contida em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

.
 A esta última corresponde, como mapa, uma série fundamental 
\begin_inset Formula $\{s_{\lambda_{v}}\}$
\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 e em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 a qual, por causa de 1), é limitada por um elemento 
\begin_inset Formula $m_{0}$
\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 que não pertence a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 (F, §10).
 Este elemento 
\begin_inset Formula $m_{0}$
\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 (que permanecerá o mesmo, se nos lugares das série fundamentais 
\begin_inset Formula $\{x_{v}\}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $r_{\chi_{v}}$
\end_inset

 forem pensadas outras séries limitadas pelo mesmo elemento 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

, de acordo com E, C, D em §10) é considerado como um mapa de 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

.
 Inversamente, a cada elemento 
\begin_inset Formula $m_{0}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 que não ocorre em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

 pertence um elemento totalmente determinado 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 que não pertence a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 e do qual 
\begin_inset Formula $m_{0}$
\end_inset

 é o mapa.
\end_layout

\begin_layout Standard
Isto é o caso para aqueles elementos de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 que pertencem, ao mesmo tempo, aos conjuntos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$S$
\end_layout

\end_inset

, respectivamente.
\end_layout

\begin_layout Standard
Comparemos um elemento 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$r$
\end_layout

\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 com um elemento 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 que não pertence a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

; sejam 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$s$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $m_{0}$
\end_inset

 os elementos correspondentes de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se 
\begin_inset Formula $r<x_{0}$
\end_inset

, então haverá uma série fundamental ascendente 
\begin_inset Formula $\{r_{\kappa_{v}}\}$
\end_inset

 que é limitada por 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 e, de um certo 
\begin_inset Formula $v_{0}$
\end_inset

, temos que
\begin_inset Separator latexpar
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $r<r_{\kappa_{v}}$
\end_inset

, para 
\begin_inset Formula $v>v_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
O mapa de 
\begin_inset Formula $\{r_{\kappa_{v}}\}$
\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 é uma série fundamental ascendente 
\begin_inset Formula $\{s_{\lambda_{v}}\}$
\end_inset

 que é limitada por 
\begin_inset Formula $m_{0}$
\end_inset

 em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 e teremos (§10), em primeiro lugar, que 
\begin_inset Formula $s_{\lambda_{v}}\prec m_{0}$
\end_inset

 para todo 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 e, em segundo lugar, que 
\begin_inset Formula $s\prec s_{\lambda_{v}}$
\end_inset

, para todo 
\begin_inset Formula $v>v_{0}$
\end_inset

 para .
 Consequentemente (§7), 
\begin_inset Formula $s\prec m_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se 
\begin_inset Formula $r>x_{0}$
\end_inset

, então concluiremos semelhantemente que 
\begin_inset Formula $s>m_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Se considerarmos, enfim, dois elementos 
\begin_inset Formula $x_{0}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $x_{0}'$
\end_inset

 que não pertencem a 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$R$
\end_layout

\end_inset

 e os elementos 
\begin_inset Formula $m_{0}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $n_{0}$
\end_inset

 que correspondem àqueles em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

, então mostraremos, por meio de uma observação análoga, que se 
\begin_inset Formula $x_{0}<x'_{0}$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $m_{0}\prec m'_{0}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Com isso, a prova da similaridade de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$X$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 foi apresentada e, consequentemente, 
\begin_inset Formula $\overline{M}=\theta$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Os conjuntos bem-ordenados
\end_layout

\begin_layout Standard
Entre os conjuntos simplesmente ordenados, os conjuntos bem-ordenados merecem
 um lugar distinto; seu tipo ordinal, o qual chamaremos de “número ordinal”,
 forma o material natural para uma definição exata dos números cardinais,
 ou das potências, transfinitos superiores - uma definição que é inteiramente
 conforme àquela que apresentamos para o menor número cardinal transfinito
 Aleph Zero por meio do sistema de todos os números finitos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$v$
\end_layout

\end_inset

 (§6).
\end_layout

\begin_layout Standard
Chamaremos “bem-ordenado” um conjunto simplesmente ordenado F (§7), se seus
 elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 ascenderem, em uma determinada sucessão, de um menor 
\begin_inset Formula $f_{1}$
\end_inset

, de maneira que as duas seguintes condições sejam satisfeitas:
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
I.
\end_layout

\end_inset

 Existe, em F, de acordo com a ordem, um menor elemento 
\begin_inset Formula $f_{1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
II.
\end_layout

\end_inset

 Se F' for qualquer conjunto parcial de F e se F possuir um ou mais elementos
 com uma ordem maior que todos os elementos de F', então existirá um elemento
 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 de F, o qual se segue imediatamente depois da totalidade F', de modo que
 nenhum elemento que ocorre em F se encontra, segundo sua ordem, entre 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 e F'.
\end_layout

\begin_layout Standard
Em particular, para cada elemento individual 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 de F, caso este não seja o maior, segue-se, de acordo com a ordem, um outro
 elemento determinado 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 como o próximo maior.
 Isto resulta da condição II, se estabelecermos para F' o elemento individual
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

.
 Além disso, por exemplo, se uma série infinita de elementos consecutivos
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $e'\prec e''\prec e'''\prec\ldots\prec e^{(v)}\prec e^{(v+1)}\prec\ldots$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
estiver contida em F, de tal forma que, não obstante, existam também em
 F elementos os quais têm uma ordem maior que todos os 
\begin_inset Formula $e^{(v)}$
\end_inset

, então, de acordo com a condição II, deverá existir, se para F' estabelecermos
 a totalidade 
\begin_inset Formula $\{e^{(v)}\}$
\end_inset

 em F, um elemento 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

, tal que não somente
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $f'\succ e^{(v)}$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
para todos valores de 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

, mas também tal que não há, igualmente, nenhum elemento 
\begin_inset Formula $g$
\end_inset

 em F que satisfaça ambas as condições
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $g\prec f'$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $g\succ e^{(v)}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
para todos os valores de 
\begin_inset Formula $v$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
Assim, por exemplo, os três conjuntos
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $(a_{1},a_{2},\ldots,a_{v},\ldots),$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $(a_{1},a_{2},\ldots,a_{v},\ldots,b_{1},b_{2},\ldots b_{\mu},\ldots)$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $(a_{1},a_{2},\ldots,a_{v},\ldots,b_{1},b_{2},\ldots b_{\mu},\ldots,c_{1},c_{2},c_{3})$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
onde
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $a_{v}\prec a_{v+1}\prec b_{\mu}\prec b_{\mu+1}\prec c_{1}\prec c_{2}\prec c_{3}$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
são bem-ordenados.
 Os dois primeiros conjuntos não têm maior elemento, o terceiro tem o maior
 elemento 
\begin_inset Formula $c_{3}$
\end_inset

; no segundo e no terceiro conjuntos, a todos os elementos 
\begin_inset Formula $a_{v}$
\end_inset

, sucede imediatamente 
\begin_inset Formula $b_{1}$
\end_inset

 e no terceiro, a todos elementos 
\begin_inset Formula $a_{v}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $b_{\mu}$
\end_inset

, sucede imediatamente 
\begin_inset Formula $c_{1}$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
No que se segue, estenderemos os símbolos 
\begin_inset Formula $\prec$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $\succ$
\end_inset

, os quais foram explicados em §7 e os quais lá foram usados para expressar
 a relação de ordem entre dois elementos, aos grupos de elementos.
 Assim, as fórmulas
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $M\prec N$
\end_inset

,
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $M\succ N$
\end_inset


\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
expressarão que, em uma dada hierarquia, todos os elementos do conjunto
 M têm uma ordem menor ou uma ordem maior, respectivamente, que todos os
 elementos do conjunto N.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
A.
\end_layout

\end_inset

 Todo conjunto parcial 
\begin_inset Formula $F_{1}$
\end_inset

 de um conjunto bem-ordenado 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 tem um menor elemento.
\end_layout

\begin_layout Standard
Prova.
 Se o menor elemento 
\begin_inset Formula $f_{1}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 pertencer a 
\begin_inset Formula $F_{1}$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $f_{1}$
\end_inset

 também será o menor elemento de 
\begin_inset Formula $F_{1}$
\end_inset

.
 Caso contrário, seja 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

 a totalidade de todos os elementos de 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

 os quais têm uma ordem menor que todos os elementos de 
\begin_inset Formula $F_{1}$
\end_inset

.
 Então, justamente por isso, nenhum elemento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 está situado entre 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $F_{1}$
\end_inset

.
 Portanto, se 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 suceder imediatamente a 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

 (de acordo com II), então 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 pertence necessariamente a 
\begin_inset Formula $F$
\end_inset

 e ocupa, neste caso, a menor ordem.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
B.
\end_layout

\end_inset

 Se um conjunto simplesmente ordenado 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 é tal que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 e qualquer um dos seus conjuntos parciais têm um menor elemento, então
 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 é um conjunto bem-ordenado.
\end_layout

\begin_layout Standard
Prova.
 Uma vez que 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 tem um menor elemento, então a condição I é satisfeita.
 Seja 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

 um conjunto parcial de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 de tal maneira que há, em 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

, um ou mais elementos 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

; sejam 
\begin_inset Formula $F_{1}$
\end_inset

 a totalidade de todos estes elementos e 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 o menor elemento de 
\begin_inset Formula $F_{1}$
\end_inset

.
 Então, obviamente, 
\begin_inset Formula $f'$
\end_inset

 é o elemento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 que sucede imediatamente a 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

.
 Com isso, a condição II também é satisfeita e, portanto, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 é um conjunto bem-ordenado.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
C.
\end_layout

\end_inset

 Todo conjunto parcial 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

 de um conjunto bem-ordenado 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 é igualmente um conjunto bem-ordenado.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Prova.
 De acordo com o teorema A, 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

, assim como todo conjunto parcial 
\begin_inset Formula $F''$
\end_inset

 de 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

 (porque 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

 é também um conjunto parcial de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

), tem um menor elemento.
 Consequentemente, de acordo com o teorema B, 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

 é um conjunto bem-ordenado.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
D.
\end_layout

\end_inset

 Todo conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

, que é similar a um conjunto bem-ordenado 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

, é também um conjunto bem-ordenado.
 
\end_layout

\begin_layout Standard
Prova.
 Se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$M$
\end_layout

\end_inset

 for um conjunto que possui um menor elemento, então, conforme imediatamente
 resulta do conceito de similaridade (§7), todo conjunto similar àquele
 também terá um menor elemento.
 Ora, uma vez que devemos ter que 
\begin_inset Formula $G\simeq F$
\end_inset

 e 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 tem menor elemento, pois 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

 é um conjunto bem-ordenado, então o mesmo vale para 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

.
 Da mesma maneira, todo conjunto parcial 
\begin_inset Formula $G'$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

 tem um menor elemento; pois, em um mapeamento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

 sobre 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

, ao conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G'$
\end_layout

\end_inset

 corresponde, como mapa, um conjunto parcial 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$F$
\end_layout

\end_inset

, tal que 
\end_layout

\begin_layout Standard
\align center
\begin_inset Formula $G'\simeq F'$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Standard
\noindent
Todavia, 
\begin_inset Formula $F'$
\end_inset

 tem, de acordo com o teorema A, um menor elemento.
 Consequentemente, 
\begin_inset Formula $G'$
\end_inset

 também tem.
 Portanto, tanto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

 como todo conjunto parcial 
\begin_inset Formula $G'$
\end_inset

 de G têm um menor elemento; de acordo com o teorema B, 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

 é, por conseguinte, um conjunto bem-ordenado.
\end_layout

\begin_layout Enumerate
\begin_inset Argument item:1
status open

\begin_layout Plain Layout
E.
\end_layout

\end_inset

 Se, em um conjunto bem-ordenado 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

, seus elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$g$
\end_layout

\end_inset

 forem substituídos por conjuntos bem-ordenados de maneira que se 
\begin_inset Formula $F_{g}$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $G_{g'}$
\end_inset

 são os conjuntos bem-ordenados que ocuparam os lugares dos elementos 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$g$
\end_layout

\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $g'$
\end_inset

 e 
\begin_inset Formula $g\prec g'$
\end_inset

, então 
\begin_inset Formula $F_{g}\prec F_{g'}$
\end_inset

 , então o conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$H$
\end_layout

\end_inset

 que resulta, desta forma, da combinação dos elementos de todos os conjuntos
 
\begin_inset Formula $F_{g'}$
\end_inset

 será um conjunto bem-ordenado.
\end_layout

\begin_layout Standard
Prova.
 Tanto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$H$
\end_layout

\end_inset

 como todo conjunto parcial 
\begin_inset Formula $H_{1}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$H$
\end_layout

\end_inset

 têm um menor elemento, o que caracteriza 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$H$
\end_layout

\end_inset

, de acordo com o teorema B, como um conjunto bem-ordenado.
 Pois, se 
\begin_inset Formula $g_{1}$
\end_inset

 for o menor elemento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

, então o menor elemento de 
\begin_inset Formula $F_{g_{1}}$
\end_inset

 será também o menor elemento de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$H$
\end_layout

\end_inset

.
 Ademais, se tivermos um conjunto parcial 
\begin_inset Formula $H_{1}$
\end_inset

 de 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$H$
\end_layout

\end_inset

, então seus elementos pertencerão aos conjuntos determinados 
\begin_inset Formula $F_{g}$
\end_inset

, os quais formam, quando considerados como uma totalidade, um conjunto
 parcial do conjunto bem-ordenado 
\begin_inset Formula $\{F_{g}\}$
\end_inset

 que consiste nos elementos 
\begin_inset Formula $F_{g}$
\end_inset

 e que é similar ao conjunto 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$G$
\end_layout

\end_inset

; Por exemplo, se 
\begin_inset Formula $F_{g_{0}}$
\end_inset

 for o menor elemento deste conjunto parcial, então o menor elemento do
 conjunto parcial 
\begin_inset Formula $H_{1}$
\end_inset

 contido em 
\begin_inset Formula $F_{g_{0}}$
\end_inset

 será também o menor elemento de 
\begin_inset Formula $H$
\end_inset

.
\end_layout

\begin_layout Section
Os segmentos de conjuntos bem-ordenados
\end_layout

\begin_layout Standard
Se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 for qualquer elemento do conjunto bem-ordenado F e se 
\begin_inset ERT
status open

\begin_layout Plain Layout

$f$
\end_layout

\end_inset

 for diferente do elemento inicial 
\begin_inset Formula $f_{1}$
\end_inset

, então chamaremos o conjunto A de todos os elementos de F, que são EMBED
 , de “segmento de F” ou, mais precisamente, de segmento de F determinado
 pelo elemento f.
 Por outro lado, o conjunto R de todos os demais elementos de F com a inclusão
 de f será chamado de “resíduo de F” ou, mais precisamente, de resíduo de
 F determinado pelo elemento f.
 Os conjuntos A e R são, de acordo com o teorema C, §12, bem-ordenados e,
 segundo §8 e §12, podemos escrever:
\end_layout

\end_body
\end_document
